Kürzen Sie den Bruch 111.111.111.251/1.111.111.421 vollständig, geschrieben als unechter Bruch und gemischte Zahl, Dezimalzahl und Prozentsatz

Kürzen Sie den Bruch 111.111.111.251/1.111.111.421 vollständig, auf die Grunddarstellung, seine einfachste äquivalente Form

Wie kürze ich den Bruch?

  • Um einen Bruch vollständig auf seine Grunddarstellung zu kürzen, teilen Sie den Zähler und den Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
  • Um den größten gemeinsamen Teiler ggT zu berechnen, führen wir die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen durch.

Die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen

Die Primfaktorzerlegung einer Zahl N = ist die Operation der Teilung der Zahl N in kleinere Zahlen - diese kleineren Zahlen sind Primzahlen. Die Zahl N ergibt sich aus der Multiplikation dieser Primzahlen.


111.111.111.251 = 72 × 4.723 × 480.113
111.111.111.251 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl.

1.111.111.421 = 7 × 158.730.203
1.111.111.421 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl.


  • Die natürlichen Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind, heißen Primzahlen. Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
  • Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl, die mindestens einen anderen Teiler als 1 und sich selbst hat.

  • » Primfaktorzerlegung



Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler, ggT:

Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren mit ihren kleineren Exponenten.

ggT (111.111.111.251; 1.111.111.421) = 7

» Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler, ggT



Teilen Sie den Zähler und den Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.

111.111.111.251/1.111.111.421 =

(72 × 4.723 × 480.113)/(7 × 158.730.203) =

((72 × 4.723 × 480.113) : 7) / ((7 × 158.730.203) : 7) =

(7 × 4.723 × 480.113)/158.730.203 =

15.873.015.893/158.730.203


Der Bruch ist nun vollständig auf seine Grunddarstellung gekürzt.

Was ist ein Bruch, verkürzt auf seine Grunddarstellung?

  • Ein vollständig auf seine Grunddarstellung verkürzter Bruch ist ein Bruch mit möglichst kleinem Zähler und Nenner.
  • Ein vollständig gekürzter Bruch hat teilerfremde Zähler und Nenner.
  • 15.873.015.893/158.730.203 ist unechter Bruch.
  • Unechter Bruch: der Zähler ist größer als der Nenner oder gleich.

Schreiben Sie den Bruch um:

Als gemischte Zahl (gemischter Bruch):

  • Gemischte Zahl: eine ganze Zahl und ein echter Bruch, die das gleiche Vorzeichen haben.
  • Den ursprünglichen unechten Bruch erhält man, indem man die ganze Zahl und den echten Bruch addiert.
  • Echter Bruch: der Zähler ist kleiner als der Nenner.

15.873.015.893 : 158.730.203 = 99 und Rest = 158.725.796 ⇒

15.873.015.893 = 99 × 158.730.203 + 158.725.796 ⇒

15.873.015.893/158.730.203 =

(99 × 158.730.203 + 158725796) / 158.730.203 =

(99 × 158.730.203) / 158.730.203 + 158725796 / 158.730.203 =

99 + 158.725.796/158.730.203 =

99 158.725.796/158.730.203


Als Dezimalzahl (von einem Ganzen)

Teile den Zähler des Bruchs durch seinen Nenner.


99 158.725.796/158.730.203 =

99 + 158.725.796/158.730.203 =

99 + 158.725.796 : 158.730.203 ≈

99,999972235908 ≈

100


Als Prozentsatz (von einem Ganzen)

  • Multipliziere den Wert des Bruchs mit dem Bruch 100/100
  • 100/100 = 100 : 100 = 100% = 1
  • Multiplizieren Sie eine Zahl mit dem Bruch 100/100,
    ... und ihr Wert ändert sich nicht.

99,999972235908 =

99,999972235908 × 100/100 =

9.999,997223590774/100 =

9.999,997223590774% ≈

10.000%



Die endgültige Antwort:
:: Auf vier Arten geschrieben ::

Als unechter Bruch:
111.111.111.251/1.111.111.421 = 15.873.015.893/158.730.203

Als gemischte Zahl (gemischter Bruch):
111.111.111.251/1.111.111.421 = 99 158.725.796/158.730.203

Als Dezimalzahl:
111.111.111.251/1.111.111.421 ≈ 99,999972235908 ≈ 100

Als Prozentsatz:
111.111.111.251/1.111.111.421 ≈ 10.000%

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Kürzen von Brüchen auf ihre Grunddarstellung

Schritte, um einen Bruch zu kürzen, um ihn auf seine Grunddarstellung zu bringen, den kleinstmöglichen Zähler und Nenner:

  • 1) Führen Sie die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner des Bruchs durch.
  • 2) Berechne den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs.
  • 3) Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
  • Der so erhaltene Bruch wird verkürzter Bruch oder vollständig auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch genannt.
  • Ein vollständig gekürzter Bruch darf nicht mehr gekürzt werden, er ist bereits in seiner einfachsten Form mit kleinstmöglichem Zähler und Nenner.

Beispiel: Kürzen Sie den Bruch 315/1.155 vollständig auf seine Grunddarstellung.

  • 1) Führen Sie die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner des Bruchs durch.

  • Der Zähler der Brüche ist 315, und seine Primfaktorisierung ist:
    315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 32 × 5 × 7
  • Der Nenner des Bruchs ist 1.155 und seine Primfaktorzerlegung ist:
    1.155 = 3 × 5 × 7 × 11.

  • 2) Berechne den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs.

  • Der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen, des Zählers und des Nenners, (315 und 1.155), wird berechnet, indem alle ihre gemeinsamen Primfaktoren mit den niedrigsten Potenzen multipliziert werden:
  • ggT (315; 1.155) = (32 × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105

  • 3) Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.

  • Der Zähler und der Nenner des Bruchs werden durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert:
  • 315/1.155 =
    (32 × 5 × 7)/(3 × 5 × 7 × 11) =
    ((32 × 5 × 7) : (3 × 5 × 7)) / ((3 × 5 × 7 × 11) : (3 × 5 × 7)) =
    3/11
  • Der so erhaltene Bruch wird als vollständig auf seine Grunddarstellung verkürzter Bruch bezeichnet - einer mit dem kleinstmöglichen Zähler und Nenner.

Warum Brüche kürzen?

  • Bei Operationen mit Brüchen müssen wir diese oft auf den gleichen Nenner bringen, zum Beispiel beim Addieren, Subtrahieren oder Vergleichen.
  • Manchmal sind sowohl die Zähler als auch die Nenner dieser Brüche große Zahlen, und Berechnungen mit solchen Zahlen können schwierig sein.
  • Durch das Kürzen eines Bruchs werden sowohl der Zähler als auch der Nenner auf kleinere Werte reduziert - viel einfacher zu handhaben und so der Gesamtaufwand zu reduzieren.

Lesen Sie den gesamten Artikel ⇒ Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung kürzen: Schritte und Beispiele