Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung kürzen: Schritte und Beispiele

  • 2. Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler, ggT, des Zählers und des Nenners des Bruchs. Berechnen Sie hier: ⇒ Berechne den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen, ggT
  • 3. Teilen Sie den Zähler und den Nenner des Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT, um einen vollständig auf seine Grunddarstellung verkürzten Bruch zu erhalten.

Beispiel 1: Kürzen Sie den echten Bruch 24/32 vollständig auf seine Grunddarstellung.

  • Ein echter Bruch: ein Bruch, bei dem der Nenner größer als der Zähler ist.
    Beispiel: 1/3, 2/6, 24/32
  • Ein unechter Bruch: ein Bruch, bei dem der Nenner gleich oder kleiner als der Zähler ist.
    Beispiel: 3/2, 2/2, 36/34
  • 1) Führen Sie die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner des Bruchs durch.

  • Der Zähler der Brüche ist 24, und seine Primfaktorisierung ist:
    24 = 23 × 3.
    Der Nenner des Bruchs ist 32 und seine Primfaktorzerlegung ist:
    32 = 25.
  • 2) Berechne den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs.

  • Der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen, des Zählers und des Nenners, (24 und 32), wird berechnet, indem alle ihre gemeinsamen Primfaktoren mit den niedrigsten Potenzen multipliziert werden, wie zum Beispiel:
  • ggT (24; 32) =
    (23 × 3; 25) =
    23 = 8
  • 3) Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.

  • Der Zähler und der Nenner des Bruchs werden durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert:
  • 24/32 =
    (24 : 8)/(32 : 8) =
    (23 × 3 : 23)/(25 : 23) =
    3/4
  • Der so erhaltene Bruch wird als vollständig auf seine Grunddarstellung verkürzter Bruch bezeichnet - einer mit dem kleinstmöglichen Zähler und Nenner.

Beispiel 2: Kürzen Sie den echten Bruch 130/455 vollständig auf seine Grunddarstellung.

  • 1) Führen Sie die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner des Bruchs durch.

  • Der Zähler der Brüche ist 130, und seine Primfaktorisierung ist:
    130 = 2 × 5 × 13.
    Der Nenner des Bruchs ist 455 und seine Primfaktorzerlegung ist:
    455 = 5 × 7 × 13.
  • 2) Berechne den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs.

  • Der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen, des Zählers und des Nenners, (130 und 455), wird berechnet, indem alle ihre gemeinsamen Primfaktoren mit den niedrigsten Potenzen multipliziert werden, wie zum Beispiel:
  • ggT (130; 455) =
    (2 × 5 × 13; 5 × 7 × 13) =
    5 × 13 = 65
  • 3) Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.

  • Der Zähler und der Nenner des Bruchs werden durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert:
  • 130/455 =
    (2 × 5 × 13)/(5 × 7 × 13) =
    ((2 × 5 × 13) : (5 × 13)) / ((5 × 7 × 13) : (5 × 13)) =
    2/7
  • Der so erhaltene Bruch wird als vollständig auf seine Grunddarstellung verkürzter Bruch bezeichnet - einer mit dem kleinstmöglichen Zähler und Nenner.

Beispiel 3: Kürzen Sie den echten Bruch 315/1.155 vollständig auf seine Grunddarstellung.

  • 1) Führen Sie die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner des Bruchs durch.

  • Der Zähler der Brüche ist 315, und seine Primfaktorisierung ist:
    315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 32 × 5 × 7
  • Der Nenner des Bruchs ist 1.155 und seine Primfaktorzerlegung ist:
    1.155 = 3 × 5 × 7 × 11.
  • 2) Berechne den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs.

  • Der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen, des Zählers und des Nenners, (315 und 1.155), wird berechnet, indem alle ihre gemeinsamen Primfaktoren mit den niedrigsten Potenzen multipliziert werden:
  • ggT (315; 1.155) = (32 × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105
  • 3) Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.

  • Der Zähler und der Nenner des Bruchs werden durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert:
  • 315/1.155 =
    (32 × 5 × 7)/(3 × 5 × 7 × 11) =
    ((32 × 5 × 7) : (3 × 5 × 7)) / ((3 × 5 × 7 × 11) : (3 × 5 × 7)) =
    3/11
  • Der so erhaltene Bruch wird als vollständig auf seine Grunddarstellung verkürzter Bruch bezeichnet - einer mit dem kleinstmöglichen Zähler und Nenner.

Beispiel 4: Kürze den unechten Bruch 455/130 vollständig auf seine Grunddarstellung.

  • 1) Führen Sie die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner des Bruchs durch.

  • Der Zähler der Brüche ist 455, und seine Primfaktorisierung ist:
    455 = 5 × 7 × 13
    Der Nenner des Bruchs ist 130 und seine Primfaktorzerlegung ist:
    130 = 2 × 5 × 13
  • 2) Berechne den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs.

  • Der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen, des Zählers und des Nenners, (455 und 130), wird berechnet, indem alle ihre gemeinsamen Primfaktoren mit den niedrigsten Potenzen multipliziert werden, wie zum Beispiel:
  • ggT(455; 130) =
    (5 × 7 × 13; 2 × 5 × 13) =
    5 × 13 = 65
  • 3) Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.

  • Der Zähler und der Nenner des Bruchs werden durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert:
  • 455/130 =
    (5 × 7 × 13)/(2 × 5 × 13) =
    ((5 × 7 × 13) : (5 × 13)) / ((2 × 5 × 13) : (5 × 13)) =
    7/2
  • Der so erhaltene Bruch wird als vollständig auf seine Grunddarstellung verkürzter Bruch bezeichnet - einer mit dem kleinstmöglichen Zähler und Nenner.
  • Aber es gibt noch mehr: Jeder unechte Bruch kann als Summe aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch geschrieben werden.
  • In unserem Fall:
  • 7/2 =
    (2 × 3 + 1)/2 =
    (2 × 3)/2 + 1/2 =
    3/1 + 1/2 =
    3 + 1/2 =
    3 1/2
  • 3 1/2 wird als gemischte Zahl bezeichnet - manchmal auch als gemischter Bruch.

Warum Brüche kürzen?

  • Bei Operationen mit Brüchen müssen wir diese oft auf den gleichen Nenner bringen, zum Beispiel beim Addieren, Subtrahieren oder Vergleichen.
  • Manchmal sind sowohl die Zähler als auch die Nenner dieser Brüche große Zahlen, und Berechnungen mit solchen Zahlen können schwierig sein.
  • Durch das Kürzen eines Bruchs werden sowohl der Zähler als auch der Nenner auf kleinere Werte reduziert - viel einfacher zu handhaben und so der Gesamtaufwand zu reduzieren.