Was ist eine Primzahl? Definitionen, Beispiele. Der Hauptsatz der Arithmetik. Die ersten 200 Primzahlen
1. Primzahlen
- Eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch die Zahl 1 und durch sich selbst teilbar ist, heißt Primzahl.
- Jede Primzahl „m“ hat nur zwei Teiler, die Zahl selbst „m“ und die Zahl 1:
- m = 1 × m
- Beispiele für Primzahlen:
- 1 gilt nicht als Primzahl.
- Die erste Primzahl ist 2, also beginnt die Liste der Primzahlen mit der Zahl 2:
- 2 ist nur durch 2 und 1 teilbar, also ist 2 eine Primzahl.
- 3 ist nur durch 3 und 1 teilbar, also ist 3 eine Primzahl.
- 5 ist nur durch 5 und 1 teilbar, also ist 5 eine Primzahl.
- 7 ist nur durch 7 und 1 teilbar, also ist 7 eine Primzahl.
- 11 ist nur durch 11 und 1 teilbar, also ist 11 eine Primzahl.
- ...
- 2 ist die einzige gerade Zahl, die eine Primzahl ist. Alle anderen Primzahlen sind ungerade Zahlen.
2. Der Hauptsatz der Arithmetik
- Die Primfaktorzerlegung einer Zahl: Finden der Primzahlen, die miteinander multipliziert werden, um diese Zahl zu ergeben.
- Der Hauptsatz der Arithmetik besagt, dass jede natürliche Zahl größer als 1 bis auf die Reihenfolge der Primfaktoren eindeutig als Produkt einer oder mehrerer Primzahlen geschrieben werden kann.
- Warum gilt die Zahl 1 also nicht als Primzahl? Wenn 1 als Primzahl angesehen würde, dann könnte die Primfaktorzerlegung der Zahl 6 zum Beispiel entweder sein: 6 = 2 × 3 or 6 = 1 × 2 × 3. Diese beiden Darstellungen würden als zwei verschiedene Primfaktorzerlegungen derselben Zahl 6 betrachtet, sodass die Aussage des Fundamentalsatzes nicht mehr wahr wäre.
3. Zusammengesetzte Zahlen
- Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl, die mindestens einen positiven Teiler außer 1 und die Zahl selbst hat.
- Eine zusammengesetzte Zahl ist auch jede Zahl größer als 1, die keine Primzahl ist.
- Beispiele für zusammengesetzte Zahlen:
- 4 ist teilbar durch 4, 2 und 1, also ist 4 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Die Primfaktorzerlegung von 4 = 2 × 2 = 22
- 1st Anmerkung: Der zweite Teil der Primfaktorzerlegung von 4 wird mit Potenzen geschrieben und wird als komprimiertes Schreiben des ersten Teils der Primfaktorzerlegung von 4 bezeichnet.
- 2nd Anmerkung: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Die Zahl 2 heißt Basis und 3 ist Exponent. Der Exponent sagt uns, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. 23 ist die Potenz und 8 ist der Wert der Potenz. Wir sagen: 2 hoch 3.
- 6 ist teilbar durch 6, 3, 2 und 1, also ist 6 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Die Primfaktorzerlegung von 6 = 2 × 3
- 8 ist teilbar durch 8, 4, 2 und 1, also ist 8 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Die Primfaktorzerlegung ist 8 = 2 × 2 × 2 = 23
- 9 ist durch 9, 3 und 1 teilbar, also ist 9 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Seine Primfaktorzerlegung: 9 = 32
- 10 ist teilbar durch 10, 5, 2 und 1, also ist 10 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Die Primfaktorzerlegung von 10 = 2 × 5
- 12 ist teilbar durch 12, 4, 3, 2 und 1, also ist 12 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Die Primfaktorzerlegung ist 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
- Anmerkung:
- Die zusammengesetzten Zahlen sind alle natürlichen Zahlen größer als 1, die keine Primzahlen sind.
- Jede zusammengesetzte Zahl kann als Produkt von mindestens zwei Primzahlen geschrieben werden.
- Wir könnten sagen, dass die Primzahlen die Grundbausteine aller zusammengesetzten Zahlen sind.
4. Die Primzahlen bis 200:
- Wie oben erwähnt, ist die erste Primzahl nicht 1, sondern 2. Die Zahl 1 gilt nicht als Primzahl.
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
- 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
- 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
- 101, 103, 107, 109, 113, 127,
- 131, 137, 139, 149, 151, 157,
- 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
- Eine letzte Anmerkung zu den Primzahlen:
- EUKLID (300 v. Chr.) bewies, dass, da die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist, auch die Menge der Primzahlen unendlich ist und es keine größte Primzahl gibt.
- Es gibt keine bekannte einfache Formel, die alle Primzahlen von den zusammengesetzten unterscheidet.
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