1. Primzahlen

• Eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch die Zahl 1 und durch sich selbst teilbar ist, heißt Primzahl.
• Jede Primzahl „m“ hat nur zwei Teiler, die Zahl selbst „m“ und die Zahl 1:
• m = 1 × m
• Beispiele für Primzahlen:
• 1 gilt nicht als Primzahl.
• Die erste Primzahl ist 2, also beginnt die Liste der Primzahlen mit der Zahl 2:
• 2 ist nur durch 2 und 1 teilbar, also ist 2 eine Primzahl.
• 3 ist nur durch 3 und 1 teilbar, also ist 3 eine Primzahl.
• 5 ist nur durch 5 und 1 teilbar, also ist 5 eine Primzahl.
• 7 ist nur durch 7 und 1 teilbar, also ist 7 eine Primzahl.
• 11 ist nur durch 11 und 1 teilbar, also ist 11 eine Primzahl.
• ...
• 2 ist die einzige gerade Zahl, die eine Primzahl ist. Alle anderen Primzahlen sind ungerade Zahlen.

2. Der Hauptsatz der Arithmetik

• Die Primfaktorzerlegung einer Zahl: Finden der Primzahlen, die miteinander multipliziert werden, um diese Zahl zu ergeben.
• Der Hauptsatz der Arithmetik besagt, dass jede natürliche Zahl größer als 1 bis auf die Reihenfolge der Primfaktoren eindeutig als Produkt einer oder mehrerer Primzahlen geschrieben werden kann.
• Warum gilt die Zahl 1 also nicht als Primzahl? Wenn 1 als Primzahl angesehen würde, dann könnte die Primfaktorzerlegung der Zahl 6 zum Beispiel entweder sein: 6 = 2 × 3 or 6 = 1 × 2 × 3. Diese beiden Darstellungen würden als zwei verschiedene Primfaktorzerlegungen derselben Zahl 6 betrachtet, sodass die Aussage des Fundamentalsatzes nicht mehr wahr wäre.

3. Zusammengesetzte Zahlen

• Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl, die mindestens einen positiven Teiler außer 1 und die Zahl selbst hat.
• Eine zusammengesetzte Zahl ist auch jede Zahl größer als 1, die keine Primzahl ist.
• Beispiele für zusammengesetzte Zahlen:
• 4 ist teilbar durch 4, 2 und 1, also ist 4 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Die Primfaktorzerlegung von 4 = 2 × 2 = 2²
• 1^st Anmerkung: Der zweite Teil der Primfaktorzerlegung von 4 wird mit Potenzen geschrieben und wird als komprimiertes Schreiben des ersten Teils der Primfaktorzerlegung von 4 bezeichnet.
• 2^nd Anmerkung: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Die Zahl 2 heißt Basis und 3 ist Exponent. Der Exponent sagt uns, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. 2³ ist die Potenz und 8 ist der Wert der Potenz. Wir sagen: 2 hoch 3.
• 6 ist teilbar durch 6, 3, 2 und 1, also ist 6 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Die Primfaktorzerlegung von 6 = 2 × 3
• 8 ist teilbar durch 8, 4, 2 und 1, also ist 8 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Die Primfaktorzerlegung ist 8 = 2 × 2 × 2 = 2³
• 9 ist durch 9, 3 und 1 teilbar, also ist 9 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Seine Primfaktorzerlegung: 9 = 3²
• 10 ist teilbar durch 10, 5, 2 und 1, also ist 10 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Die Primfaktorzerlegung von 10 = 2 × 5
• 12 ist teilbar durch 12, 4, 3, 2 und 1, also ist 12 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Die Primfaktorzerlegung ist 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

• Anmerkung:
• Die zusammengesetzten Zahlen sind alle natürlichen Zahlen größer als 1, die keine Primzahlen sind.
• Jede zusammengesetzte Zahl kann als Produkt von mindestens zwei Primzahlen geschrieben werden.
• Wir könnten sagen, dass die Primzahlen die Grundbausteine aller zusammengesetzten Zahlen sind.

4. Die Primzahlen bis 200:

• Wie oben erwähnt, ist die erste Primzahl nicht 1, sondern 2. Die Zahl 1 gilt nicht als Primzahl.
• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
• 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
• 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
• 101, 103, 107, 109, 113, 127,
• 131, 137, 139, 149, 151, 157,
• 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

• Eine letzte Anmerkung zu den Primzahlen:
• EUKLID (300 v. Chr.) bewies, dass, da die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist, auch die Menge der Primzahlen unendlich ist und es keine größte Primzahl gibt.
• Es gibt keine bekannte einfache Formel, die alle Primzahlen von den zusammengesetzten unterscheidet.

Was ist eine Primzahl? Definition, Beispiele

Was ist eine zusammengesetzte Zahl? Definition, Beispiele

Die Primzahlen bis 1.000

Die Primzahlen bis 10.000

Das Sieb des Eratosthenes

Der Euklidische Algorithmus

Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung kürzen: Schritte und Beispiele