1. Die Definition der zusammengesetzten Zahlen

• Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die mindestens einen anderen Teiler als 1 und die Zahl selbst hat.
• Eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch die Zahl 1 und durch sich selbst teilbar ist, heißt Primzahl.
• Eine zusammengesetzte Zahl ist auch jede natürliche Zahl größer als 1, die keine Primzahl ist.

2. Der Hauptsatz der Arithmetik

• Die Primfaktorzerlegung einer Zahl: Finden der Primzahlen, die miteinander multipliziert werden, um diese Zahl zu ergeben.
• Der Hauptsatz der Arithmetik besagt, dass jede natürliche Zahl größer als 1 bis auf die Reihenfolge der Primfaktoren eindeutig als Produkt einer oder mehrerer Primzahlen geschrieben werden kann.
• Warum gilt die Zahl 1 also nicht als Primzahl? Wenn 1 als Primzahl angesehen würde, dann könnte die Primfaktorzerlegung der Zahl 6 zum Beispiel entweder sein: 10 = 2 × 5 or 10 = 1 × 2 × 5. Diese beiden Darstellungen würden als zwei verschiedene Primfaktorzerlegungen derselben Zahl 10 betrachtet, sodass die Aussage des Fundamentalsatzes nicht mehr wahr wäre.

3. Beispiele für zusammengesetzte Zahlen. Beispiele für Primzahlen.

• Nach der Definition der zusammengesetzten Zahlen ist 1 keine zusammengesetzte Zahl. 1 wird auch nicht als Primzahl betrachtet, wie wir oben gelesen haben, also ist die erste zusammengesetzte Zahl 4 (die Liste der zusammengesetzten Zahlen beginnt mit 4).
• 2 ist nur durch 2 und 1 teilbar, also ist 2 eine Primzahl.
• 3 ist nur durch 3 und 1 teilbar, also ist 3 eine Primzahl.
• 4 ist teilbar durch 4, 2 und 1, also ist 4 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Seine Primfaktorzerlegung ist: 4 = 2 × 2 = 2²
• 1^st Anmerkung: Der zweite Teil der Primfaktorzerlegung von 4 wird mit Potenzen geschrieben und wird als komprimiertes Schreiben des ersten Teils der Primfaktorzerlegung von 4 bezeichnet.
• 2^nd Anmerkung: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Die Zahl 2 heißt Basis und 3 ist Exponent. Der Exponent sagt uns, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. 2³ ist die Potenz und 8 ist der Wert der Potenz. Wir sagen: 2 hoch 3.
• 5 ist nur durch 5 und 1 teilbar, also ist 5 eine Primzahl.
• 6 ist teilbar durch 6, 3, 2 und 1, also ist 6 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Seine Primfaktorzerlegung ist: 6 = 2 × 3
• 7 ist nur durch 7 und 1 teilbar, also ist 7 eine Primzahl.
• 8 ist teilbar durch 8, 4, 2 und 1, also ist 8 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Seine Primfaktorzerlegung ist: 8 = 2 × 2 × 2 = 2³
• 9 ist durch 9, 3 und 1 teilbar, also ist 9 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Seine Primfaktorzerlegung ist: 9 = 3 × 3 = 3²
• 10 ist teilbar durch 10, 5, 2 und 1, also ist 10 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte. Die Primfaktorzerlegung dieser Zahl ist: 10 = 2 × 5
• 11 ist nur durch 11 und 1 teilbar, also ist 11 eine Primzahl.
• 12 ist teilbar durch 12, 6, 4, 3, 2 und 1, also ist 12 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte. Die Primfaktorzerlegung dieser Zahl ist: 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

4. Alle zusammengesetzten Zahlen bis 200:

• 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,
• 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39,
• 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 52, 54, 55, 56, 57, 58,
• 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78,
• 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99,
• 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119,
• 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138,
• 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, 159,
• 160, 161, 162, 164, 165, 166, 168, 169, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 178,
• 180, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 192, 194, 195, 196, 198, 200.

• Eine letzte Anmerkung zu den zusammengesetzten Zahlen:
• EUCLID (300 v. Chr.) bewies, dass, da die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist, auch die Menge der Primzahlen unendlich ist, ohne größte Primzahl. Dasselbe würde auch für die zusammengesetzten Zahlen gelten.
• Es gibt keine bekannte einfache Formel, die alle zusammengesetzten Zahlen von den Primzahlen unterscheidet.

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