Primzahlen. Mathematische Operationen mit Primfaktoren

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1. Primzahlen. 2. Der fundamentale Satz der Arithmetik. 3. Zusammengesetzte Zahlen. 4. Bemerkungen zu den Primzahlen

  • 1. Primzahlen

  • Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch sich selbst und die Zahl 1 teilbar (= ohne Rest) ist.
  • Jede "m"-Primzahl hat nur zwei Teiler: die Zahl selbst, "m", und die Zahl 1.
  • Beispiele für Primzahlen:
  • 1 wird nicht als Primzahl angesehen, also ist die erste Primzahl 2 (die Liste der Primzahlen beginnt mit der Zahl 2).
  • 2 ist nur durch 2 und 1 teilbar, also ist 2 eine Primzahl.
  • 3 ist nur durch 3 und 1 teilbar, also ist 3 eine Primzahl.
  • 5 ist nur durch 5 und 1 teilbar, also ist 5 eine Primzahl.
  • 13 ist nur durch 13 und 1 teilbar, also ist 13 eine Primzahl.
  • 2. Der fundamentale Satz der Arithmetik

  • Der Hauptsatz der Arithmetik besagt, dass jede natürliche Zahl größer als 1 bis auf die Reihenfolge der Primfaktoren eindeutig als Produkt einer oder mehrerer Primzahlen geschrieben werden kann.
  • Warum gilt 1 nicht als Primzahl? Wenn 1 als Primzahl angesehen würde, dann könnte die Primfaktorzerlegung der Zahl 15 zum Beispiel entweder sein: 15 = 3 × 5 oder 15 = 1 × 3 × 5. Diese beiden Darstellungen wären als zwei verschiedene Primfaktorzerlegungen derselben Zahl 15 betrachtet worden, sodass die Aussage des Fundamentalsatzes nicht mehr wahr wäre.
  • 3. Zusammengesetzte Zahlen

  • Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl, die mindestens einen positiven Teiler außer 1 und die Zahl selbst hat.
  • Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl, die mindestens einen positiven Teiler außer 1 und die Zahl selbst hat.
  • Die Primfaktorzerlegung einer Zahl: Finden der Primzahlen, die miteinander multipliziert werden, um diese Zahl zu ergeben.
  • Beispiele für zusammengesetzte Zahlen:
  • 4 ist teilbar durch 4, 2 und 1, also ist 4 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Die Primfaktorzerlegung von 4 = 2 × 2 = 22
  • Erste Anmerkung: Der zweite Teil der Primfaktorzerlegung von 4 wird unter Verwendung von Potenzen und Exponenten geschrieben.
  • Zweite Anmerkung: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. 2 heißt Basis und 3 ist Exponent. 23 ist die Potenz und 8 ist der Wert der Potenz. Der Exponent zeigt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. Wir sagen: 2 hoch 3.
  • 6 ist teilbar durch 6, 3, 2 und 1, also ist 6 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Die Primfaktorzerlegung von 6 = 2 × 3
  • 8 ist teilbar durch 8, 4, 2 und 1, also ist 8 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Die Primfaktorzerlegung ist 8 = 23
  • 9 ist teilbar durch 9, 3 und 1, also ist 9 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Seine Primfaktorzerlegung: 9 = 32
  • 4. Bemerkungen zu den Primzahlen

  • Die Liste der ersten Primzahlen bis 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
  • Die Primzahlen sind die Grundbausteine aller Zahlen, wobei man bedenkt, dass jede Zahl als Produkt einer oder mehrerer Primzahlen geschrieben werden kann. Jede zusammengesetzte Zahl kann als Produkt von mindestens zwei Primzahlen geschrieben werden.
  • Euklid von Alexandria (300 v. Chr.) bewies, dass, da die Menge der natürlichen oder ganzen Zahlen unendlich ist, auch die Menge der Primzahlen unendlich ist und es keine größte Primzahl gibt.
  • Es gibt keine bekannte einfache Formel, die alle Primzahlen von den zusammengesetzten unterscheidet.