Kürzen von Brüchen auf ihre Grunddarstellung
Schritte, um einen Bruch zu kürzen, um ihn auf seine Grunddarstellung zu bringen, den kleinstmöglichen Zähler und Nenner:
- 1) Führen Sie die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner des Bruchs durch.
- 2) Berechne den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs.
- 3) Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- Der so erhaltene Bruch wird verkürzter Bruch oder vollständig auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch genannt.
- Ein vollständig gekürzter Bruch darf nicht mehr gekürzt werden, er ist bereits in seiner einfachsten Form mit kleinstmöglichem Zähler und Nenner.
Beispiel: Kürzen Sie den Bruch 315/1.155 vollständig auf seine Grunddarstellung.
1) Führen Sie die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner des Bruchs durch.
- Der Zähler der Brüche ist 315, und seine Primfaktorisierung ist:
315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 32 × 5 × 7 - Der Nenner des Bruchs ist 1.155 und seine Primfaktorzerlegung ist:
1.155 = 3 × 5 × 7 × 11. 2) Berechne den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs.
- Der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen, des Zählers und des Nenners, (315 und 1.155), wird berechnet, indem alle ihre gemeinsamen Primfaktoren mit den niedrigsten Potenzen multipliziert werden:
- ggT (315; 1.155) = (32 × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105
3) Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
- Der Zähler und der Nenner des Bruchs werden durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert:
- 315/1.155 =
(32 × 5 × 7)/(3 × 5 × 7 × 11) =
((32 × 5 × 7) : (3 × 5 × 7)) / ((3 × 5 × 7 × 11) : (3 × 5 × 7)) =
3/11 - Der so erhaltene Bruch wird als vollständig auf seine Grunddarstellung verkürzter Bruch bezeichnet - einer mit dem kleinstmöglichen Zähler und Nenner.
Warum Brüche kürzen?
- Bei Operationen mit Brüchen müssen wir diese oft auf den gleichen Nenner bringen, zum Beispiel beim Addieren, Subtrahieren oder Vergleichen.
- Manchmal sind sowohl die Zähler als auch die Nenner dieser Brüche große Zahlen, und Berechnungen mit solchen Zahlen können schwierig sein.
- Durch das Kürzen eines Bruchs werden sowohl der Zähler als auch der Nenner auf kleinere Werte reduziert - viel einfacher zu handhaben und so der Gesamtaufwand zu reduzieren.