kgV von 330 und 2.064, das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen. Der kleinste gemeinsame Nenner. Finde weitere Vielfache, ausgehend vom kgV

Berechnen Sie kgV von 330 und 2.064, das kleinste gemeinsame Vielfache. Der gemeinsame Nenner. Weitere Vielfache

Was bedeutet kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)?

  • Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl ungleich null, die ein Vielfaches beider Zahlen ist.
  • Zum Beispiel ist das kgV von 2 und 3 gleich 6.
  • Im Folgenden sehen Sie, wie es mit zwei Methoden berechnet wird.

  • Andere Vielfache zweier Zahlen

  • Sobald Sie das kgV zweier Zahlen berechnet haben, können Sie weitere Vielfache dieser beiden Zahlen finden, indem Sie das kgV mit einer beliebigen anderen natürlichen Zahl multiplizieren.
  • Zum Beispiel ist das kgV von 2 und 3 gleich 6. Dann sind auch die folgenden Zahlen Vielfache von 2 und 3: 6 × 0 = 0; 6 × 2 = 12; 6 × 3 = 18; ... und so weiter.
  • Es gibt unendlich viele Vielfache von je zwei Zahlen.

  • Der gemeinsame Nenner zweier Brüche

  • Die Berechnung des gemeinsamen Nenners zweier Brüche entspricht der Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ihrer Nenner.
  • Beispiel: Um zwei Brüche, 1/2 und 1/3, zu addieren, müssen sie denselben Nenner haben, vorzugsweise einen möglichst kleinen. Der gemeinsame Nenner ist 6, das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3: 1/2 + 1/3 = (3 × 1) / 6 + (2 × 1) / 6 = 3/6 + 2/6 = 5/6
  • » Rechner für die Addition von Brüchen
  • » Rechner für die Subtraktion von Brüchen
  • » Rechner zum Vergleichen von Brüchen

kgV (330; 2.064) = ?

Verwendete Methoden: 1. Primfaktorzerlegung von Zahlen. 2. Euklidischer Algorithmus

Methode 1. Primfaktorzerlegung:

Die Primfaktorzerlegung einer Zahl N = Teilung der Zahl N in kleinere Zahlen - das sind Primzahlen. Die Zahl N ergibt sich aus der Multiplikation dieser Primzahlen.


330 = 2 × 3 × 5 × 11
330 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl.

2.064 = 24 × 3 × 43
2.064 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl.



Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV:

Multiplizieren Sie alle Primfaktoren der beiden Zahlen. Bei gemeinsamen Primfaktoren werden nur die mit den größten Exponenten genommen (die größten Potenzen).


Das kleinste gemeinsame Vielfache:
kgV (330; 2.064) = 24 × 3 × 5 × 11 × 43 = 113.520
Die beiden Zahlen haben gemeinsame Primfaktoren

Methode 2. Euklidischer Algorithmus:

1. Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler:

  • Dieser Algorithmus beinhaltet den Prozess der Division von Zahlen und der Berechnung der Reste.
  • 'a' und 'b' sind die beiden natürlichen Zahlen, 'a' >= 'b'.
  • Teilen Sie 'a' durch 'b' und erhalten Sie den Rest der Operation, 'r'.
  • Wenn 'r' = 0 ist, STOP. 'b' = der ggT von 'a' und 'b'.
  • Sonst: Ersetzen Sie ('a' durch 'b') und ('b' durch 'r'). Kehren Sie zum obigen Schritt der Teilung zurück.


1. Operation: die größte Zahl durch die kleinste Zahl:
2.064 : 330 = 6 + 84
2. Operation: Teilen Sie die kleinere Zahl durch den Rest aus der obigen Operation:
330 : 84 = 3 + 78
3. Operation: Teilen Sie den Rest der 1. Operation durch den Rest der 2. Operation:
84 : 78 = 1 + 6
4. Operation: Teilen Sie den Rest der 2. Operation durch den Rest der 3. Operation:
78 : 6 = 13 + 0
Bei diesem Schritt ist der Rest Null, also müssen wir aufhören:
6 ist die Zahl, nach der wir gesucht haben - das ist der letzte Rest, der von Null verschieden ist.
Dies ist der größte gemeinsame Teiler.

Der größte gemeinsame Teiler:
ggT (330; 2.064) = 6


2. Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache:

Das kleinste gemeinsame Vielfache, Formel:

kgV (a; b) = (a × b) / ggT (a; b)


kgV (330; 2.064) =

(330 × 2.064) / ggT (330; 2.064) =

681.120 / 6 =

113.520


» Euklidischer Algorithmus


Das kleinste gemeinsame Vielfache:
kgV (330; 2.064) = 113.520 = 24 × 3 × 5 × 11 × 43

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Weitere Vielfache, ausgehend vom kleinsten gemeinsamen Vielfachen

  • Jedes gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist auch ein Vielfaches ihres kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV).
  • Die folgenden Zahlen sind ebenfalls Vielfache der Zahlen 330 und 2.064:
    113.520 × 0 = 0 ... 113.520 × 2 = 227.040 ... 113.520 × 3 = 340.560 ...
  • Es gibt unendlich viele Vielfache von je zwei Zahlen..

Wie prüft man, ob eine Zahl ein gemeinsames Vielfaches zweier Zahlen ist?

  • Nachdem man das kgV berechnet hat, teilt man die zu prüfende Zahl durch das kgV. Ist der Rest dieser Division null, dann ist die Zahl ein Vielfaches der beiden anderen Zahlen. Ist der Rest ungleich null, dann ist die Zahl kein Vielfaches.
  • Beispiel: Das kgV der Zahlen 4 und 6 ist 2 × 2 × 3 = 12.
  • Frage: Ist 36 ein Vielfaches von 4 und 6? Antwort: 36 : 12 = 3, Rest 0, also ist 36 ein Vielfaches von 4 und 6.
  • Frage: Ist 28 ein Vielfaches von 4 und 6? Antwort: 28 : 12 = 2, Rest 4, also ist 28 kein Vielfaches von 4 und 6.

Warum brauchen wir das kleinste gemeinsame Vielfache?

  • Um Brüche zu addieren, zu subtrahieren oder zu vergleichen, müssen Sie zuerst äquivalente Brüche berechnen, die denselben Nenner haben. Dieser gemeinsame Nenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der Brüche.
  • Per Definition ist das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen die kleinste natürliche Zahl, die: (1) größer als 0 und (2) ein Vielfaches beider Zahlen ist.


Ähnliche Operationen mit der Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, kgV:

» kgV von 331 und 2.077, das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen. Der kleinste gemeinsame Nenner

» Monatliche Operationen: die berechneten Werte des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, kgV

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Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Der kleinste gemeinsame Nenner

  • Die Zahl 60 ist ein gemeinsames Vielfaches der Zahlen 6 und 15, weil 60 ein Vielfaches von 6 (60 = 6 × 10) und auch ein Vielfaches von 15 (60 = 15 × 4) ist.
  • Es gibt unendlich viele gemeinsame Vielfache von 6 und 15.
  • Wenn die Zahl „v“ ein Vielfaches der Zahlen „a“ und „b“ ist, dann sind alle Vielfachen von „v“ auch Vielfache von „a“ und „b“.
  • Die gemeinsamen Vielfachen von 6 und 15 sind die Zahlen 30, 60, 90, 120 und so weiter.
  • Davon ist 30 das kleinste, 30 das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 15 (kgV).
  • Anmerkung: Die Primfaktorzerlegung einer Zahl: Finden der Primzahlen, die miteinander multipliziert werden, um diese Zahl zu ergeben.
  • Wenn e = kgV (a, b), dann muss „e“ alle Primfaktoren enthalten, die an der Primfaktorzerlegung von „a“ und „b“ mit der höchsten Potenz beteiligt sind.
  • Beispiel:
  • 40 = 23 × 5
  • 36 = 22 × 32
  • 126 = 2 × 32 × 7
  • kgV (40, 36, 126) = 23 × 32 × 5 × 7 = 2.520
  • Hinweis: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Wir sagen: 2 hoch 3. In diesem Beispiel ist 3 der Exponent und 2 die Basis. Der Exponent zeigt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. 23 ist die Potenz und 8 ist der Wert der Potenz.
  • Ein weiteres Beispiel für die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, kgV:
  • 938 = 2 × 7 × 67
  • 982 = 2 × 491
  • 743 = ist eine Primzahl und kann nicht in andere Primfaktoren zerlegt werden
  • kgV (938, 982, 743) = 2 × 7 × 67 × 491 × 743 = 342.194.594
  • Wenn zwei oder mehr Zahlen keine gemeinsamen Teiler haben (sie sind teilerfremd), dann wird ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnet, indem die Zahlen einfach multipliziert werden.
  • Beispiel:
  • 6 = 2 × 3
  • 35 = 5 × 7
  • kgV (6, 35) = 2 × 3 × 5 × 7 = 6 × 35 = 210
  • Der Zusammenhang zwischen dem kleinsten gemeinsamen Nenner und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen:
  • Um den kleinsten gemeinsamen Nenner von Brüchen zu berechnen, muss man das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner berechnen.