Die Zerlegung der zusammengesetzten Zahl 12.458 in Primfaktoren, geschrieben als Produkt von Primzahlen

Die Primfaktorzerlegung der zusammengesetzten Zahl 12.458

12.458 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl.

Die Primfaktorzerlegung der zusammengesetzten Zahl 12.458:

~ Die Zerlegung geschrieben als Produkt von Primfaktoren:

12.458 = 2 × 6.229

[1] Die Primfaktorzerlegung einer Zahl N = ist die Operation der Teilung der Zahl N in kleinere Zahlen - diese kleineren Zahlen sind Primzahlen. Die Zahl N ergibt sich aus der Multiplikation dieser Primzahlen.
Beispiel: 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3.


[2] Primzahl: eine natürliche Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist (sie wird ohne Rest geteilt). Eine Primzahl hat nur zwei Teiler: 1 und die Zahl selbst.
Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Die erste Primzahl ist 2 und nicht 1. Die Zahl 1 gilt nicht als Primzahl. Es gibt nur eine Primzahl, die eine gerade Zahl ist: 2. Alle anderen Primzahlen sind ungerade Zahlen.

[3] Zusammengesetzte Zahl: eine natürliche Zahl, die mindestens einen Teiler hat, der sich von 1 und sich selbst unterscheidet. Eine zusammengesetzte Zahl hat mindestens drei Teiler. Eine zusammengesetzte Zahl ist auch eine Zahl, die keine Primzahl ist.
Beispiele: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16.
Die zusammengesetzten Zahlen bestehen aus Primzahlen, die miteinander multipliziert werden.

Die Zahlen 0 und 1 gelten weder als Primzahlen noch als zusammengesetzte Zahlen.


Die Primfaktorzerlegung einer Zahl, wie geht das?

Lassen Sie uns lernen, indem wir eine Zahl in Primzahlen zerlegen:

Wir nehmen die Zahl 220 und zerlegen sie in Primzahlen


Wir brauchen die Liste der ersten Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge von 2 bis 20 (202 = 20 × 20 > 220):
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Die Primzahlen sind die Bausteine der zusammengesetzten Zahlen.


1. Teilen Sie zuerst 220 durch die kleinste Primzahl 2:
220 : 2 = 110; Der Rest = 0 ⇒
220 ist durch 2 teilbar ⇒ 2 ist ein Teiler der Zahl 220:
220 = 2 × 110.

2. Teilen Sie das Ergebnis der vorherigen Operation, 110, erneut durch 2:
110 : 2 = 55; Der Rest = 0 ⇒
110 ist durch 2 teilbar ⇒ 2 ist ein Teiler der Zahl 110:
220 = 2 × 110 = 2 × 2 × 55.


3. Teilen Sie das Ergebnis der vorherigen Operation, 55, erneut durch 2:
55 : 2 = 27 + 1; Der Rest = 1 ⇒
55 ist nicht durch 2 teilbar.


4. Fahren Sie mit der nächsten Primzahl fort, 3. Teilen Sie die Zahl 55 durch 3:
55 : 3 = 18 + 1; Der Rest = 1 ⇒
55 ist nicht durch 3 teilbar.


5. Fahren Sie mit der nächsten Primzahl fort, 5. Teilen Sie 55 durch 5:
55 : 5 = 11; Der Rest = 0 ⇒
55 ist durch 5 teilbar ⇒ 5 ist ein Teiler der Zahl 55:
220 = 2 × 2 × 55 = 2 × 2 × 5 × 11.


6. Beachten Sie, dass die letzte verbleibende Zahl, 11, eine Primzahl ist, also haben wir bereits alle Primzahlen gefunden, aus denen die Zahl 220 besteht.


Abschließend die Primfaktorzerlegung der Zahl 220:
220 = 2 × 2 × 5 × 11.
Dieses Produkt von Primzahlen kann in komprimierter Form geschrieben werden, indem man die Exponenten (als potenzierte Basis) verwendet:
220 = 22 × 5 × 11.

Online-Rechner: Prüfen, ob Zahlen Primzahlen sind. Primfaktorzerlegung zusammengesetzter Zahlen

Die Primfaktorzerlegung einer Zahl N = Teilung der Zahl N in kleinere Zahlen, die Primzahlen sind. Die Zahl N ergibt sich aus der Multiplikation dieser Primzahlen.

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. 1 gilt nicht als Primzahl.

Die letzten 10 Zahlen, für die Primfaktorzerlegungen durchgeführt wurden

Die Primfaktorzerlegung zusammengesetzter Zahlen

  • Die Primfaktorzerlegung einer Zahl: Finden der Primzahlen, die miteinander multipliziert werden, um diese Zahl zu ergeben.
  • Der Hauptsatz der Arithmetik besagt, dass jede ganze Zahl größer als 1 auf eindeutige Weise als Produkt einer oder mehrerer Primzahlen geschrieben werden kann, mit Ausnahme der Reihenfolge der Primfaktoren.
  • Die Zahl 1 wird nicht als Primzahl betrachtet, also ist die erste Primzahl 2.
  • Wenn die Zahl 1 als Primzahl angesehen würde, dann könnte die Primfaktorzerlegung der Zahl 15 geschrieben werden als: 15 = 3 × 5 ODER 15 = 1 × 3 × 5 - diese beiden Darstellungen würden als unterschiedliche Primfaktorzerlegungen derselben betrachtet Zahl, so dass der obige Satz nicht mehr gültig gewesen wäre. Würde man 1 zu den Primzahlen zählen, dann wäre die Primzahlzerlegung auch nicht mehr eindeutig.
  • Die natürlichen Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 dividierbar sind, heißen Primzahlen.
  • Beispiele für Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 und so weiter.
  • Wenn eine Zahl eine Primzahl ist, kann sie nicht in andere Primzahlen zerlegt werden, sie ist nur durch 1 und sich selbst teilbar – die Zahl selbst heißt in diesem Fall unechter Teiler. Einige Leute halten 1 auch für einen unechten Teiler.
  • Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl, die mindestens einen anderen Teiler als 1 und die Zahl selbst hat.
  • Eine zusammengesetzte Zahl ist auch jede natürliche Zahl größer als 1, die keine Primzahl ist.
  • Beispiele zusammengesetzter Zahlen: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26 und so weiter.
  • Eine Primzahl kann nicht in andere Primfaktoren zerlegt werden, aber eine zusammengesetzte Zahl kann es sein, wie unten gezeigt:
  • Beispiel 1. 6 ist durch 6, 3, 2 und 1 teilbar, also ist 6 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. 6 kann auf verschiedene Arten faktorisiert werden, als: 6 = 1 × 6 oder 6 = 1 × 2 × 3 oder 6 = 2 × 3. Aber seine Primfaktorzerlegung ist, unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren, immer: 6 = 2 × 3.
  • Beispiel 2. 120 kann auf verschiedene Arten faktorisiert werden, als: 120 = 4 × 30 oder 120 = 2 × 2 × 2 × 15 oder 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. Seine Primfaktorzerlegung ist immer: 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5 - die letzte Schreibweise mit Exponenten ist die verkürzte Form der ersten Form, die längere.
  • * Hinweis: 23 = 2 × 2 × 2. Wir sagen: 2 hoch 3. In diesem Beispiel ist 3 der Exponent und 2 die Basis. Der Exponent zeigt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. 23 ist die Potenz und 8 ist der Wert der Potenz.
  • Warum ist es wichtig, etwas über die Primfaktorzerlegung der Zahlen zu lernen?
  • Die Primfaktorzerlegung ist nützlich, wenn der größte gemeinsame Teiler, ggT, von Zahlen berechnet wird.
  • Das ggT wird beim Kürzen von Brüchen auf die Grunddarstellung benötigt.
  • Die Primfaktorzerlegung ist praktisch bei der Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, LCM, von Zahlen - dies wird zum Beispiel beim Addieren oder Subtrahieren gewöhnlicher Brüche benötigt...
  • Und die Beispiele könnten fortgesetzt werden (Teilbarkeit von Zahlen, Berechnung aller Teiler einer Zahl ausgehend von ihrer Primfaktorzerlegung usw.).
  • Beispiel für mehr Primzahlen:
  • 181 ist nur durch 181 und 1 teilbar, also ist 181 eine Primzahl.
  • 2.341 ist nur durch 2.341 und 1 teilbar, also ist 2.341 eine Primzahl.
  • 6.991 ist nur durch 6.991 und 1 teilbar, also ist 6.991 eine Primzahl.
  • Dies ist die Liste aller Primzahlen von 1 bis 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
  • Die Primzahlen werden als Basisblöcke beim Aufbau der Primfaktorzerlegung der zusammengesetzten Zahlen verwendet. Wir könnten also sagen, dass die Primzahlen wirklich die Grundbausteine der zusammengesetzten Zahlen sind.