Primfaktorzerlegung. Primzahlen. Zusammengesetzte Zahlen
[1] Die Primfaktorzerlegung einer Zahl N = ist die Operation der Teilung der Zahl N in kleinere Zahlen - diese kleineren Zahlen sind Primzahlen. Die Zahl N ergibt sich aus der Multiplikation dieser Primzahlen.
Beispiel: 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3.
[2] Primzahl: eine natürliche Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist (sie wird ohne Rest geteilt). Eine Primzahl hat nur zwei Teiler: 1 und die Zahl selbst.
Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Es gibt nur eine Primzahl, die eine gerade Zahl ist: 2. Alle anderen Primzahlen sind ungerade Zahlen.
[3] Zusammengesetzte Zahl: eine natürliche Zahl, die mindestens einen Teiler hat, der sich von 1 und sich selbst unterscheidet. Eine zusammengesetzte Zahl hat mindestens drei Teiler. Eine zusammengesetzte Zahl ist auch eine Zahl, die keine Primzahl ist.
Beispiele: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16.
Die zusammengesetzten Zahlen bestehen aus Primzahlen, die miteinander multipliziert werden.
117.648 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl.
Die Primfaktorzerlegung der zusammengesetzten Zahl 117.648:
[1] Die Zerlegung geschrieben als Produkt von Primfaktoren:
117.648 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 19 × 43
[2] Die Zerlegung in Primfaktoren, geschrieben als Potenzprodukt von Primfaktoren (ZuminZumindest einige Primfaktoren werden mit einem Exponenten geschrieben): *
117.648 = 24 × 32 × 19 × 43
Die Primfaktorzerlegung einer Zahl, wie geht das?
Lassen Sie uns lernen, indem wir eine Zahl in Primzahlen zerlegen:
Wir nehmen die Zahl 220 und zerlegen sie in Primzahlen
Wir brauchen die Liste der ersten Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge von 2 bis 20 (202 = 20 × 20 > 220):
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Die Primzahlen sind die Bausteine der zusammengesetzten Zahlen.
1. Teilen Sie zuerst 220 durch die kleinste Primzahl 2:
220 : 2 = 110; Der Rest = 0 ⇒
220 ist durch 2 teilbar ⇒ 2 ist ein Teiler der Zahl 220:
220 = 2 × 110.
2. Teilen Sie das Ergebnis der vorherigen Operation, 110, erneut durch 2:
110 : 2 = 55; Der Rest = 0 ⇒
110 ist durch 2 teilbar ⇒ 2 ist ein Teiler der Zahl 110:
220 = 2 × 110 = 2 × 2 × 55.
3. Teilen Sie das Ergebnis der vorherigen Operation, 55, erneut durch 2:
55 : 2 = 27 + 1; Der Rest = 1 ⇒
55 ist nicht durch 2 teilbar.
4. Fahren Sie mit der nächsten Primzahl fort, 3. Teilen Sie die Zahl 55 durch 3:
55 : 3 = 18 + 1; Der Rest = 1 ⇒
55 ist nicht durch 3 teilbar.
5. Fahren Sie mit der nächsten Primzahl fort, 5. Teilen Sie 55 durch 5:
55 : 5 = 11; Der Rest = 0 ⇒
55 ist durch 5 teilbar ⇒ 5 ist ein Teiler der Zahl 55:
220 = 2 × 2 × 55 = 2 × 2 × 5 × 11.
6. Beachten Sie, dass die letzte verbleibende Zahl, 11, eine Primzahl ist, also haben wir bereits alle Primzahlen gefunden, aus denen die Zahl 220 besteht.
Abschließend die Primfaktorzerlegung der Zahl 220:
220 = 2 × 2 × 5 × 11.
Dieses Produkt von Primzahlen kann in komprimierter Form geschrieben werden, indem man die Exponenten (als potenzierte Basis) verwendet:
220 = 22 × 5 × 11.