Ist die Zahl 0 weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl? Online-Rechner

Prüfen Sie, ob 0 eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl ist. Könnte die Zahl in Primfaktoren zerlegt werden? Wie lautet die Primfaktorzerlegung?

0 kann nicht in Primfaktoren zerlegt werden.

Null ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl.

0 kann nicht als Produkt von Primzahlen geschrieben werden.

[1] Die Primfaktorzerlegung einer Zahl N = ist die Operation der Teilung der Zahl N in kleinere Zahlen - diese kleineren Zahlen sind Primzahlen. Die Zahl N ergibt sich aus der Multiplikation dieser Primzahlen.
Beispiel: 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3.

[2] Primzahl: eine natürliche Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist (sie wird ohne Rest geteilt). Eine Primzahl hat nur zwei Teiler: 1 und die Zahl selbst.
Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Die erste Primzahl ist 2 und nicht 1. Die Zahl 1 gilt nicht als Primzahl. Es gibt nur eine Primzahl, die eine gerade Zahl ist: 2. Alle anderen Primzahlen sind ungerade Zahlen.

[3] Zusammengesetzte Zahl: eine natürliche Zahl, die mindestens einen Teiler hat, der sich von 1 und sich selbst unterscheidet. Eine zusammengesetzte Zahl hat mindestens drei Teiler. Eine zusammengesetzte Zahl ist auch eine Zahl, die keine Primzahl ist.
Beispiele: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16.
Die zusammengesetzten Zahlen bestehen aus Primzahlen, die miteinander multipliziert werden.

Die Zahlen 0 und 1 gelten weder als Primzahlen noch als zusammengesetzte Zahlen.


Die Primfaktorzerlegung einer Zahl, wie geht das?

Lassen Sie uns lernen, indem wir eine Zahl in Primzahlen zerlegen:

Wir nehmen die Zahl 220 und zerlegen sie in Primzahlen

Wir brauchen die Liste der ersten Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge von 2 bis 20 (202 = 20 × 20 > 220):
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Die Primzahlen sind die Bausteine der zusammengesetzten Zahlen.

1. Teilen Sie zuerst 220 durch die kleinste Primzahl 2:
220 : 2 = 110; Der Rest = 0 ⇒
220 ist durch 2 teilbar ⇒ 2 ist ein Teiler der Zahl 220:
220 = 2 × 110.

2. Teilen Sie das Ergebnis der vorherigen Operation, 110, erneut durch 2:
110 : 2 = 55; Der Rest = 0 ⇒
110 ist durch 2 teilbar ⇒ 2 ist ein Teiler der Zahl 110:
220 = 2 × 110 = 2 × 2 × 55.

3. Teilen Sie das Ergebnis der vorherigen Operation, 55, erneut durch 2:
55 : 2 = 27 + 1; Der Rest = 1 ⇒
55 ist nicht durch 2 teilbar.

4. Fahren Sie mit der nächsten Primzahl fort, 3. Teilen Sie die Zahl 55 durch 3:
55 : 3 = 18 + 1; Der Rest = 1 ⇒
55 ist nicht durch 3 teilbar.

5. Fahren Sie mit der nächsten Primzahl fort, 5. Teilen Sie 55 durch 5:
55 : 5 = 11; Der Rest = 0 ⇒
55 ist durch 5 teilbar ⇒ 5 ist ein Teiler der Zahl 55:
220 = 2 × 2 × 55 = 2 × 2 × 5 × 11.

6. Beachten Sie, dass die letzte verbleibende Zahl, 11, eine Primzahl ist, also haben wir bereits alle Primzahlen gefunden, aus denen die Zahl 220 besteht.

Abschließend die Primfaktorzerlegung der Zahl 220:
220 = 2 × 2 × 5 × 11.
Dieses Produkt von Primzahlen kann in komprimierter Form geschrieben werden, indem man die Exponenten (als potenzierte Basis) verwendet:
220 = 22 × 5 × 11.

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Die Primfaktorzerlegung zusammengesetzter Zahlen

  • Die Primfaktorzerlegung einer Zahl: Finden der Primzahlen, die miteinander multipliziert werden, um diese Zahl zu ergeben.
  • Der Hauptsatz der Arithmetik besagt, dass jede ganze Zahl größer als 1 auf eindeutige Weise als Produkt einer oder mehrerer Primzahlen geschrieben werden kann, mit Ausnahme der Reihenfolge der Primfaktoren.
  • Die Zahl 1 wird nicht als Primzahl betrachtet, also ist die erste Primzahl 2.
  • Wenn die Zahl 1 als Primzahl angesehen würde, dann könnte die Primfaktorzerlegung der Zahl 15 geschrieben werden als: 15 = 3 × 5 ODER 15 = 1 × 3 × 5 - diese beiden Darstellungen würden als unterschiedliche Primfaktorzerlegungen derselben betrachtet Zahl, so dass der obige Satz nicht mehr gültig gewesen wäre. Würde man 1 zu den Primzahlen zählen, dann wäre die Primzahlzerlegung auch nicht mehr eindeutig.
  • Die natürlichen Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 dividierbar sind, heißen Primzahlen.
  • Beispiele für Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 und so weiter.
  • Wenn eine Zahl eine Primzahl ist, kann sie nicht in andere Primzahlen zerlegt werden, sie ist nur durch 1 und sich selbst teilbar – die Zahl selbst heißt in diesem Fall unechter Teiler. Einige Leute halten 1 auch für einen unechten Teiler.
  • Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl, die mindestens einen anderen Teiler als 1 und die Zahl selbst hat.
  • Eine zusammengesetzte Zahl ist auch jede natürliche Zahl größer als 1, die keine Primzahl ist.
  • Beispiele zusammengesetzter Zahlen: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26 und so weiter.
  • Eine Primzahl kann nicht in andere Primfaktoren zerlegt werden, aber eine zusammengesetzte Zahl kann es sein, wie unten gezeigt:
  • Beispiel 1. 6 ist durch 6, 3, 2 und 1 teilbar, also ist 6 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. 6 kann auf verschiedene Arten faktorisiert werden, als: 6 = 1 × 6 oder 6 = 1 × 2 × 3 oder 6 = 2 × 3. Aber seine Primfaktorzerlegung ist, unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren, immer: 6 = 2 × 3.
  • Beispiel 2. 120 kann auf verschiedene Arten faktorisiert werden, als: 120 = 4 × 30 oder 120 = 2 × 2 × 2 × 15 oder 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. Seine Primfaktorzerlegung ist immer: 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5 - die letzte Schreibweise mit Exponenten ist die verkürzte Form der ersten Form, die längere.
  • * Hinweis: 23 = 2 × 2 × 2. Wir sagen: 2 hoch 3. In diesem Beispiel ist 3 der Exponent und 2 die Basis. Der Exponent zeigt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. 23 ist die Potenz und 8 ist der Wert der Potenz.
  • Warum ist es wichtig, etwas über die Primfaktorzerlegung der Zahlen zu lernen?
  • Die Primfaktorzerlegung ist nützlich, wenn der größte gemeinsame Teiler, ggT, von Zahlen berechnet wird.
  • Das ggT wird beim Kürzen von Brüchen auf die Grunddarstellung benötigt.
  • Die Primfaktorzerlegung ist praktisch bei der Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, LCM, von Zahlen - dies wird zum Beispiel beim Addieren oder Subtrahieren gewöhnlicher Brüche benötigt...
  • Und die Beispiele könnten fortgesetzt werden (Teilbarkeit von Zahlen, Berechnung aller Teiler einer Zahl ausgehend von ihrer Primfaktorzerlegung usw.).
  • Beispiel für mehr Primzahlen:
  • 181 ist nur durch 181 und 1 teilbar, also ist 181 eine Primzahl.
  • 2.341 ist nur durch 2.341 und 1 teilbar, also ist 2.341 eine Primzahl.
  • 6.991 ist nur durch 6.991 und 1 teilbar, also ist 6.991 eine Primzahl.
  • Dies ist die Liste aller Primzahlen von 1 bis 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
  • Die Primzahlen werden als Basisblöcke beim Aufbau der Primfaktorzerlegung der zusammengesetzten Zahlen verwendet. Wir könnten also sagen, dass die Primzahlen wirklich die Grundbausteine der zusammengesetzten Zahlen sind.