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Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen, ggT:

Methode 1: Die Primfaktorzerlegung von Zahlen – dann multipliziere alle gängigen Primfaktoren mit ihren kleinsten Exponenten. Wenn es keine gemeinsamen Primfaktoren gibt, ist ggT gleich 1.

Methode 2: Euklidischer Algorithmus.

Methode 3: Die Teilbarkeit der Zahlen.

• Anmerkung: Die Primfaktorzerlegung einer Zahl: Finden der Primzahlen, die miteinander multipliziert werden, um diese Zahl zu ergeben.
• Nehmen wir an, die Zahl „t“ ist ein Teiler der Zahl „a“.
• Nachdem wir die Primfaktorisierung von "a" und "t" durchgeführt haben, stellen wir fest, dass:
• 1) alle Primfaktoren von „t“ sind auch Primfaktoren von „a“
• und
• 2) die Exponenten der Primfaktoren von "t" sind gleich oder kleiner als die Exponenten der Primfaktoren von "a" (siehe unten *)

• Zum Beispiel, die Zahl 12 ist ein Teiler der Zahl 60:
• 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
• 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
• * Hinweis: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Wir sagen: 2 hoch 3. In diesem Beispiel ist 3 der Exponent und 2 die Basis. Der Exponent zeigt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. 2³ ist die Potenz und 8 ist der Wert der Potenz.

• Wenn die Zahl „t“ ein gemeinsamer Teiler der Zahlen „a“ und „b“ ist, dann gilt:
• 1) „t“ hat nur die Primfaktoren, die auch in die Primfaktorzerlegung von „a“ und „b“ eingreifen
• und
• 2) jeder Primfaktor von „t“ hat die kleinsten Exponenten im Vergleich zu Primfaktoren der Zahlen „a“ und „b“.

• Zum Beispiel ist die Zahl 12 der gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 360. Unten sehen Sie ihre Primfaktorzerlegung:
• 12 = 2² × 3
• 48 = 2⁴ × 3
• 360 = 2³ × 3² × 5
• Sie können sehen, dass die Zahl 12 nur die Primfaktoren hat, die auch in der Primfaktorzerlegung der Zahlen 48 und 360 vorkommen.
• Sie können oben sehen, dass die Zahlen 48 und 360 mehrere gemeinsame Teiler enthalten: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Von diesen ist 24 der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 48 und 360.
• 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3
• 48 = 2⁴ × 3
• 360 = 2³ × 3² × 5
• 24, der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 360, errechnet sich als Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen mit den kleinsten Exponenten (Potenzen).

• Wenn zwei Zahlen „a“ und „b“ keinen anderen gemeinsamen Teiler als 1 haben, ggT (a, b) = 1, sind die Zahlen „a“ und „b“ teilerfremde Zahlen.
• Wenn „a“ und „b“ keine teilerfremden Zahlen sind, dann ist jeder gemeinsame Teiler von „a“ und „b“ ein Teiler des größten gemeinsamen Teilers von „a“ und „b“.

• Sehen wir uns ein Beispiel an, wie man den größten gemeinsamen Teiler, ggT, der folgenden Zahlen berechnet:
• 1.260 = 2² × 3²
• 3.024 = 2⁴ × 3² × 7
• 5.544 = 2³ × 3² × 7 × 11
• ggT (1.260, 3.024, 5.544) = 2² × 3² = 252

• Und noch ein Beispiel:
• 900 = 2² × 3² × 5²
• 270 = 2 × 3³ × 5
• 210 = 2 × 3 × 5 × 7
• ggT (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30

• Und noch ein Beispiel:
• 90 = 2 × 3² × 5
• 27 = 3³
• 22 = 2 × 11
• ggT (90, 27, 22) = 1 - Die drei Zahlen haben keine gemeinsamen Primfaktoren, sie sind teilerfremd

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