ggT (6; 4.313) = ? Berechne der größte gemeinsame Teiler von Zahlen, ggT, mit dem Online-Rechner

Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler (6; 4.313) = ? Methode 1. Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren. Methode 2. Euclid Algorithmus.

Methode 1. Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren:

Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren - findet die Primzahlen, die sich zu dieser Zahl multiplizieren.


6 = 2 × 3;
6 ist keine Primzahl, ist Zusammengesetzte Zahl;


4.313 = 19 × 227;
4.313 ist keine Primzahl, ist Zusammengesetzte Zahl;


* Die Zahlen die sich nur durch sich und durch 1 teilen, heißen Primzahlen. Eine Primzahl hat nur zwei Teiler: 1 und sich selbst.
* Eine zusammengesetzte Zahl ist eine Ganzzahl, die mindestens einen anderen Teiler als 1 und sich selbst hat.


Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler:

Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primzahlen mit ihren niedrigsten Potenzen.


Aber die Zahlen haben keine gemeinsamen Primfaktoren.


ggT (6; 4.313) = 1



ggT (6; 4.313) = 1;
Teilerfremde Zahlen (relativ prim).


Methode 2. Euclid Algorithmus:

Dieser Algorithmus beinhaltet den Vorgang des Teilens und Berechnen Reste.


'a' und 'b' sind die zwei positive ganze Zahlen, 'a' >= 'b'.


Teilen Sie 'a' durch 'b' und erhalten Sie den Rest, 'r'.


Wenn 'r' = 0 ist, STOP. 'b' = der ggT von 'a' und 'b'.


Sonst: Ersetzen Sie ('a' durch 'b') und ('b' durch 'r'). Kehren Sie zum obigen Schritt der Teilung zurück.



Die Operation 1. Teilen die größte Zahl durch die kleinste Zahl:
4.313 : 6 = 718 + 5;
Die Operation 2. Teilen die kleinste Zahl durch den Rest der Operation von oben:
6 : 5 = 1 + 1;
Die Operation 3. Teilen der Rest der Operation 1 durch der Rest der Operation 2:
5 : 1 = 5 + 0;
In diesem Moment gibt es keinen Rest mehr, wir hören auf:
1 ist die gesuchte Zahl, der letzte Rest unterschiedlich von Null.
Dies ist der größte gemeinsame Teiler.


Größte gemeinsame Teiler:
ggT (6; 4.313) = 1

Warum ist die Antwort ein Teiler der anfänglichen Werte 'a' und 'b'?

Hinweis: 'a' : 'b' = 'q' + 'r' entspricht der Gleichung: 'a' = 'q' × 'b' + 'r', wobei 'q' der Quotient der Operation ist.


Wenn der Endwert von 'r' = 0 ist, dann ist der Endwert von 'b' ein Teiler des Endwerts von 'a', da 'a' = 'q' × 'b' + 0.


Gehen Sie jeden der vorherigen Schritte rückwärts durch und analysieren Sie jede Gleichung, 'a' = 'q' × 'b' + 'r', und beachte, dass bei jedem Schritt der Endwert von 'b' ein Teiler jedes Wertes von 'r' und jedes Wertes von 'b' ist und daher ein Teiler jedes Wertes von 'a' ist. Der letzte Wert von 'b', der der letzte Rest ist, der sich von Null unterscheidet, ist also ein Teiler der Anfangswerte von 'a' und 'b'.


Warum ist die Antwort gleich der ggT?

Schauen Sie sich alle Gleichungen an: 'a' = 'q' × 'b' + 'r'. Wie wir oben gesehen haben, ist der Endwert von 'b' ein Teiler aller Werte von 'a', 'b' und 'r'.


Daher muss der Endwert von 'b' auch ein Teiler des letzten Werts von 'r' sein, der von Null verschieden ist. Und der Endwert von 'b' könnte nicht größer sein als der letzte Wert von 'r'. Da der Endwert von 'b' gleich dem letzten Wert von 'r' ist, der sich von Null unterscheidet, ist der Endwert von 'b' der größte Teiler der Anfangswerte von ('a' und 'b'). Und per Definition wird es der größte gemeinsame Teiler von Zahlen genannt.


ggT (6; 4.313) = 1;
Teilerfremde Zahlen (relativ prim).

Endgültige Antwort:
Größte gemeinsame Teiler
ggT (6; 4.313) = 1;
Teilerfremde Zahlen (relativ prim).
Die Zahlen haben keine gemeinsamen Primfaktoren.

Warum brauchen wir den größten gemeinsamen Teiler?

Wenn Sie den größten gemeinsamen Teiler ggT des Zählers und Nenners eines Bruchs berechnet haben, wird es einfacher, ihn auf seine Grunddarstellung zu kürzen.



Weitere Operationen dieser Art:

Rechner: berechne ggT, der größte gemeinsame Teiler

Die neuesten größten gemeinsamen Teiler berechnet

Theorie: der größte gemeinsame Teiler (ggT)

Wenn "t" es ein Teiler von "a" ist, dann bei der Teilung in Faktoren von "t" werden nur Primzahlen erscheinen, die auch bei der Teilung von "a" erscheinen werden und die höchstens egal Exponenten auch die bei der Zerlegung von "a" eingreiffen.

Zum Beispiel, 12 ist teiler von 60:
12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5

Wenn "t" der gemeinsame Teiler von "a" und "b" ist, dann "t" hat nur Primfaktoren, die auch in "a" und "b" eingreifen, jeder Faktor bei der kleinsten Stärke.

Zum Beispiel, 12 ist der gemeinsame Teiler von 48 und 360. Aus der Teilung in Primfaktoren:
12 = 22 × 3
48 = 24 × 3
360 = 23 × 32 × 5
Es wird beobachtet, dass 48 und 360 mehrere gemeinsame Teiler enthalten: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Davon, 24 ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 48 und 360.

Falls zwei Zahlen a und b haben keinen anderen gemeinsamen Teiler als 1 enthalten, ggT (a, b) = 1, die Zahlen a und b nenen sich Primzahlen zwischen sich einander.

Falls "a" und "b" sind nicht Primzahlen zwischen sich einander, dann jeder gemeinsame Teiler von "a" und "b" ist ein Teiler des größten gemeinsamen Teilers von "a" und "b", weil der größte gemeinsamer Teiler ist das Produkt der allen Primfaktoren, die zwischen "a" und "b" eingreifen, bei der kleinsten Potenz. Auf diesem Verfahren kann man den größten gemeinsamen Teiler von mehreren Zahlen herausfinden, sowie es auch das untere Beispiel zeigt.
Beispiel für die Festlegung des ggT:
1260 = 22 × 32
3024 = 24 × 32 × 7
5544 = 23 × 32 × 7 × 11
ggT (1260, 3024, 5544) = 22 × 32 = 252


Was ist eine Primzahl?

Was ist eine zusammengesetzte Zahl?

Primzahlen bis 1.000

Primzahlen bis 10.000

Erastotene Sieb

Euclid Algorithmus

Brüche Kürzen: Schritte und Beispiele