ggT (15; 4.125) = ? Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen. Online-Rechner

ggT (15; 4.125) = ?

Methode 1. Die Teilbarkeit der Zahlen:

Teilen Sie die größere Zahl durch die kleinere.


Beachten Sie, dass beim Teilen der Zahlen der Rest Null ist:


4.125 : 15 = 275 + 0


⇒ 4.125 = 15 × 275


4.125 ist also durch 15 teilbar.


Und 15 ist ein Teiler von 4.125.


Außerdem ist der größte Teiler von 15 die Zahl selbst, 15.



Der größte gemeinsame Teiler,
ggT (15; 4.125) = 15 = 3 × 5
4.125 ist durch 15 teilbar
Scrollen Sie nach unten für die 2. Methode...

Methode 2. Primfaktorzerlegung:

Die Primfaktorzerlegung einer Zahl N = Teilung der Zahl N in kleinere Zahlen - das sind Primzahlen. Die Zahl N ergibt sich aus der Multiplikation dieser Primzahlen.


15 = 3 × 5
15 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl.


4.125 = 3 × 53 × 11
4.125 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl.


» Online-Rechner. Prüfen Sie, ob eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht. Primfaktorzerlegung zusammengesetzter Zahlen

* Die natürlichen Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind, heißen Primzahlen. Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
* Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl, die mindestens einen anderen Teiler als 1 und sich selbst hat.


Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler:

Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primzahlen mit ihren kleineren Exponenten.


Der größte gemeinsame Teiler,
ggT (15; 4.125) = 3 × 5 = 15
4.125 enthält alle Primfaktoren der Zahl 15
4.125 ist durch 15 teilbar.

Warum müssen wir den größten gemeinsamen Teiler berechnen?

Sobald Sie den größten gemeinsamen Teiler des Zählers und das Nenners eines Bruchs berechnet haben, wird es einfacher, ihn vollständig auf seine grundlegende Darstellung zu kürzen.


Der größte gemeinsame Teiler (ggT)

  • Anmerkung: Die Primfaktorzerlegung einer Zahl: Finden der Primzahlen, die miteinander multipliziert werden, um diese Zahl zu ergeben.
  • Nehmen wir an, die Zahl „t“ ist ein Teiler der Zahl „a“.
  • Nachdem wir die Primfaktorisierung von "a" und "t" durchgeführt haben, stellen wir fest, dass:
  • 1) alle Primfaktoren von „t“ sind auch Primfaktoren von „a“
  • und
  • 2) die Exponenten der Primfaktoren von "t" sind gleich oder kleiner als die Exponenten der Primfaktoren von "a" (siehe unten *)
  • Zum Beispiel, die Zahl 12 ist ein Teiler der Zahl 60:
  • 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
  • 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
  • * Hinweis: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Wir sagen: 2 hoch 3. In diesem Beispiel ist 3 der Exponent und 2 die Basis. Der Exponent zeigt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. 23 ist die Potenz und 8 ist der Wert der Potenz.
  • Wenn die Zahl „t“ ein gemeinsamer Teiler der Zahlen „a“ und „b“ ist, dann gilt:
  • 1) „t“ hat nur die Primfaktoren, die auch in die Primfaktorzerlegung von „a“ und „b“ eingreifen
  • und
  • 2) jeder Primfaktor von „t“ hat die kleinsten Exponenten im Vergleich zu Primfaktoren der Zahlen „a“ und „b“.
  • Zum Beispiel ist die Zahl 12 der gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 360. Unten sehen Sie ihre Primfaktorzerlegung:
  • 12 = 22 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • Sie können sehen, dass die Zahl 12 nur die Primfaktoren hat, die auch in der Primfaktorzerlegung der Zahlen 48 und 360 vorkommen.
  • Sie können oben sehen, dass die Zahlen 48 und 360 mehrere gemeinsame Teiler enthalten: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Von diesen ist 24 der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 48 und 360.
  • 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • 24, der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 360, errechnet sich als Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen mit den kleinsten Exponenten (Potenzen).
  • Wenn zwei Zahlen „a“ und „b“ keinen anderen gemeinsamen Teiler als 1 haben, ggT (a, b) = 1, sind die Zahlen „a“ und „b“ teilerfremde Zahlen.
  • Wenn „a“ und „b“ keine teilerfremden Zahlen sind, dann ist jeder gemeinsame Teiler von „a“ und „b“ ein Teiler des größten gemeinsamen Teilers von „a“ und „b“.
  • Sehen wir uns ein Beispiel an, wie man den größten gemeinsamen Teiler, ggT, der folgenden Zahlen berechnet:
  • 1.260 = 22 × 32
  • 3.024 = 24 × 32 × 7
  • 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
  • ggT (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
  • Und noch ein Beispiel:
  • 900 = 22 × 32 × 52
  • 270 = 2 × 33 × 5
  • 210 = 2 × 3 × 5 × 7
  • ggT (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
  • Und noch ein Beispiel:
  • 90 = 2 × 32 × 5
  • 27 = 33
  • 22 = 2 × 11
  • ggT (90, 27, 22) = 1 - Die drei Zahlen haben keine gemeinsamen Primfaktoren, sie sind teilerfremd