Berechnen Sie den ggT, ​​den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen (106; 81.155). Online-Rechner

Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler, ggT (106; 81.155), mithilfe ihrer Primfaktorzerlegung, der Teilbarkeit von Zahlen oder des euklidischen Algorithmus

Der größte gemeinsame Teiler und wie er berechnet wird

Erste Schritte und Beispiele

  • 1. Faktoren einer Zahl:
    • Faktoren einer Zahl sind die Zahlen, die miteinander multipliziert werden, um diese Zahl zu erhalten.
    • Beispiele: 2 × 3 × 4 = 24; 4 × 9 = 36.
    • In diesen Fällen sagen wir: 2, 3 und 4 sind Faktoren von 24. Und 4 und 9 sind Faktoren von 36.
  • 2. Teilbarkeit:
    • Eine Zahl kann durch jeden ihrer Faktoren ohne Rest geteilt werden.
    • In diesem Fall sagen wir, dass die Zahl durch ihre Faktoren teilbar ist.
    • Die Zahlen in den obigen Beispielen sind durch ihre Faktoren teilbar:
    • 24 ist durch 2, 3 und 4 teilbar. Und 36 ist durch 4 und 9 teilbar.
  • 3. Gemeinsame Faktoren mehrerer Zahlen:
    • Faktoren, die mehreren Zahlen gemeinsam sind, werden gemeinsame Faktoren genannt.
    • In unseren Beispielen ist 4 sowohl ein Faktor von 24 als auch von 36.
  • 4. Der größte gemeinsame Teiler mehrerer Zahlen
    • Der größte gemeinsame Teiler ist der größte aller gemeinsamen Faktoren dieser Zahlen.
  • 5. Wie wird der größte gemeinsame Teiler berechnet, ggT? Schritt 1.
    • In unseren Beispielen könnten wir versucht sein zu sagen, dass 4 der größte gemeinsame Teiler von 24 und 36 ist. Aber warten Sie. Versuchen wir, diese Faktoren in andere zu zerlegen, die so klein wie möglich sind.
    • 24 könnte wie folgt geschrieben werden: 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
    • 36 könnte auch wie folgt geschrieben werden: 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
    • In unserem Beispiel können 2 und 3 nicht weiter in andere kleinere Zahlen zerlegt werden.
  • 6. Primzahlen:
    • 2 und 3 können nicht in andere kleinere Zahlen zerlegt werden, da sie Primzahlen sind. Das ist die eigentliche Definition der Primzahlen:
    • Eine Primzahl hat keine anderen Faktoren als 1 und sich selbst, da sie nicht weiter in andere kleinere Zahlen zerlegt werden kann.
    • Beispiele für Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 und so weiter, dies ist eine endlose Liste.
  • 7. Wie berechnet man den größten gemeinsamen Teiler, ggT? Schritt 2.
    • Wir haben gesehen, dass es eine gute Idee ist, Zahlen in möglichst kleine Faktoren zu zerlegen und sie als Produkt von Primfaktoren zu schreiben. Dies ist die genaue Definition der Primfaktorzerlegung einer Zahl.
    • Die Primfaktorzerlegung von 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3.
    • Die Primfaktorzerlegung von 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32.
    • Um den ggT zu berechnen, wählen Sie einfach alle gemeinsamen Primfaktoren beider Zahlen und multiplizieren Sie sie:
    • ggT (24 und 36) = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 = 12.

Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler
ggT (106; 81.155) = ?

Methode 1. Primfaktorzerlegung:

Die Primfaktorzerlegung einer Zahl N = Teilung der Zahl N in kleinere Zahlen - das sind Primzahlen. Die Zahl N ergibt sich aus der Multiplikation dieser Primzahlen.

106 = 2 × 53
106 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl.

81.155 = 5 × 16.231
81.155 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl.

» Online-Rechner. Prüfen Sie, ob eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht. Primfaktorzerlegung zusammengesetzter Zahlen

* Die natürlichen Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind, heißen Primzahlen. Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
* Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl, die mindestens einen anderen Teiler als 1 und sich selbst hat.


Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler:

Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primzahlen mit ihren kleineren Exponenten.

Aber die beiden Zahlen haben keine gemeinsamen Primfaktoren.


Der größte gemeinsame Teiler,
ggT (106; 81.155) = 1
Teilerfremde Zahlen (relativ prim).
Scrollen Sie nach unten für die 2. Methode...

Methode 2. Euklidischer Algorithmus:

Dieser Algorithmus beinhaltet den Prozess der Division von Zahlen und der Berechnung der Reste.

'a' und 'b' sind die beiden natürlichen Zahlen, 'a' >= 'b'.

Teilen Sie 'a' durch 'b' und erhalten Sie den Rest der Operation, 'r'.

Wenn 'r' = 0 ist, STOP. 'b' = der ggT von 'a' und 'b'.

Sonst: Ersetzen Sie ('a' durch 'b') und ('b' durch 'r'). Kehren Sie zum obigen Schritt der Teilung zurück.

» Euklidischer Algorithmus



1. Operation: die größte Zahl durch die kleinste Zahl:
81.155 : 106 = 765 + 65
2. Operation: Teilen Sie die kleinere Zahl durch den Rest aus der obigen Operation:
106 : 65 = 1 + 41
3. Operation: Teilen Sie den Rest der 1. Operation durch den Rest der 2. Operation:
65 : 41 = 1 + 24
4. Operation: Teilen Sie den Rest der 2. Operation durch den Rest der 3. Operation:
41 : 24 = 1 + 17
5. Operation: Teilen Sie den Rest der 3. Operation durch den Rest der 4. Operation:
24 : 17 = 1 + 7
6. Operation: Teilen Sie den Rest der 4. Operation durch den Rest der 5. Operation:
17 : 7 = 2 + 3
7. Operation: Teilen Sie den Rest der 5. Operation durch den Rest der 6. Operation:
7 : 3 = 2 + 1
8. Operation: Teilen Sie den Rest der 6. Operation durch den Rest der 7. Operation:
3 : 1 = 3 + 0
Bei diesem Schritt ist der Rest Null, also müssen wir aufhören:
1 ist die Zahl, nach der wir gesucht haben - das ist der letzte Rest, der von Null verschieden ist.
Dies ist der größte gemeinsame Teiler.


Der größte gemeinsame Teiler:
ggT (106; 81.155) = 1
Teilerfremde Zahlen (relativ prim).
Die beiden Zahlen haben keine gemeinsamen Primfaktoren

Warum müssen wir den größten gemeinsamen Teiler berechnen?

Sobald Sie den größten gemeinsamen Teiler des Zählers und das Nenners eines Bruchs berechnet haben, wird es einfacher, ihn vollständig auf seine grundlegende Darstellung zu kürzen.


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Der größte gemeinsame Teiler (ggT)

  • Anmerkung: Die Primfaktorzerlegung einer Zahl: Finden der Primzahlen, die miteinander multipliziert werden, um diese Zahl zu ergeben.
  • Nehmen wir an, die Zahl „t“ ist ein Teiler der Zahl „a“.
  • Nachdem wir die Primfaktorisierung von "a" und "t" durchgeführt haben, stellen wir fest, dass:
  • 1) alle Primfaktoren von „t“ sind auch Primfaktoren von „a“
  • und
  • 2) die Exponenten der Primfaktoren von "t" sind gleich oder kleiner als die Exponenten der Primfaktoren von "a" (siehe unten *)
  • Zum Beispiel, die Zahl 12 ist ein Teiler der Zahl 60:
  • 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
  • 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
  • * Hinweis: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Wir sagen: 2 hoch 3. In diesem Beispiel ist 3 der Exponent und 2 die Basis. Der Exponent zeigt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. 23 ist die Potenz und 8 ist der Wert der Potenz.
  • Wenn die Zahl „t“ ein gemeinsamer Teiler der Zahlen „a“ und „b“ ist, dann gilt:
  • 1) „t“ hat nur die Primfaktoren, die auch in die Primfaktorzerlegung von „a“ und „b“ eingreifen
  • und
  • 2) jeder Primfaktor von „t“ hat die kleinsten Exponenten im Vergleich zu Primfaktoren der Zahlen „a“ und „b“.
  • Zum Beispiel ist die Zahl 12 der gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 360. Unten sehen Sie ihre Primfaktorzerlegung:
  • 12 = 22 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • Sie können sehen, dass die Zahl 12 nur die Primfaktoren hat, die auch in der Primfaktorzerlegung der Zahlen 48 und 360 vorkommen.
  • Sie können oben sehen, dass die Zahlen 48 und 360 mehrere gemeinsame Teiler enthalten: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Von diesen ist 24 der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 48 und 360.
  • 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • 24, der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 360, errechnet sich als Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen mit den kleinsten Exponenten (Potenzen).
  • Wenn zwei Zahlen „a“ und „b“ keinen anderen gemeinsamen Teiler als 1 haben, ggT (a, b) = 1, sind die Zahlen „a“ und „b“ teilerfremde Zahlen.
  • Wenn „a“ und „b“ keine teilerfremden Zahlen sind, dann ist jeder gemeinsame Teiler von „a“ und „b“ ein Teiler des größten gemeinsamen Teilers von „a“ und „b“.
  • Sehen wir uns ein Beispiel an, wie man den größten gemeinsamen Teiler, ggT, der folgenden Zahlen berechnet:
  • 1.260 = 22 × 32
  • 3.024 = 24 × 32 × 7
  • 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
  • ggT (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
  • Und noch ein Beispiel:
  • 900 = 22 × 32 × 52
  • 270 = 2 × 33 × 5
  • 210 = 2 × 3 × 5 × 7
  • ggT (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
  • Und noch ein Beispiel:
  • 90 = 2 × 32 × 5
  • 27 = 33
  • 22 = 2 × 11
  • ggT (90, 27, 22) = 1 - Die drei Zahlen haben keine gemeinsamen Primfaktoren, sie sind teilerfremd