Die Teilbarkeit der natürlichen Zahlen:

Methode 1: Teilen Sie die Zahlen und überprüfen Sie den Rest der Operation. Wenn der Rest Null ist, dann sind die Zahlen teilbar.

Methode 2: Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren.

• 1. Teilbarkeit:

• Eine Zahl heißt durch eine andere teilbar, wenn nach dem Teilen der beiden Zahlen der Rest der Operation Null ist.
• Beispiel: Teilen wir zwei verschiedene Zahlen, 12 und 15, durch 4.
• Beim Teilen von 12 durch 4 ist der Quotient 3 und der Rest der Operation ist null.
• Aber wenn wir 15 durch 4 teilen, ist der Quotient 3 und der Rest der Operation ist 3.
• Wir sagen, dass die Zahl 12 durch 4 teilbar ist und 15 nicht durch 4 teilbar ist.
• Wir sagen auch, dass 4 ein Teiler von 12 ist, aber kein Teiler von 15.

• Wir sagen, dass die Zahl „a“ durch „b“ teilbar ist, wenn es eine ganze Zahl „n“ gibt, sodass gilt:
• a = n × b.
• Die Zahl „b“ wird als Teiler von „a“ bezeichnet. "n" ist auch ein Teiler von "a".

• 2. Einige Teilbarkeitsregeln:

• 0 ist durch jede Zahl außer sich selbst teilbar.
• 1 ist ein Teiler jeder Zahl.
• Unechte Teiler: Jede von Null verschiedene Zahl "a" ist mindestens durch 1 und sich selbst teilbar. In diesem Fall wird die Zahl selbst, "a", als unechter Teiler bezeichnet. Einige halten 1 auch für einen unechten Teiler.
• Primzahlen: Eine Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, wird auch als Primzahl bezeichnet.
• Teilerfremde Zahlen: Wenn der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen, "m" und "n", das ggT (m; n) = 1 ist, dann bedeutet dies, dass die beiden Zahlen teilerfremd sind, mit anderen Worten, sie haben keinen anderen Teiler als 1. Wenn eine Zahl „a“ durch diese beiden teilerfremden Zahlen „m“ und „n“ teilbar ist, dann ist „a“ auch durch ihr Produkt (m × n) teilbar.
  • Beispiel:
  • Die Zahl 84 ist durch 4 und 3 teilbar und auch durch 4 × 3 = 12 teilbar.
  • Dies ist wahr, weil die beiden Teiler, 3 und 4, teilerfremd sind.

• 3. Berechnung der Teiler:

• Die Berechnung der Teiler einer Zahl ist sehr nützlich, wenn Sie Brüche kürzen.
• Die gängigen Regeln zum Finden von Teilern basieren darauf, dass die Zahlen im Dezimalsystem geschrieben werden:
• Vielfache von 10 sind durch 2 und 5 teilbar, weil 10 durch 2 und 5 teilbar ist
• Vielfache von 100 sind durch 4 und 25 teilbar, weil 100 durch 4 und 25 teilbar ist
• Vielfache von 1.000 sind durch 8 teilbar, weil 1.000 durch 8 teilbar ist.
• Alle Potenzen von 10, wenn sie durch 3 oder 9 geteilt werden, haben einen Rest gleich 1.

• Aufgrund der Restoperationsregeln haben wir bei der Division von Zahlen durch 3 oder 9 folgende Reste:
• 600 hat einen Rest gleich 6 = 1 × 6 (1 für je 100)
• 240 = 2 × 100 + 4 × 10, der Rest ist gleich 2 × 1 + 4 × 1 = 6

• Wenn eine Zahl durch 3 oder 9 geteilt wird, ist der Rest gleich dem, was Sie erhalten, wenn Sie die Summe der Ziffern (Die Quersumme) dieser Zahl durch 3 oder 9 teilen:
• 7.309 hat die Summe ihrer Ziffern (Die Quersumme): 7 + 3 + 0 + 9 = 19, die mit einem Rest entweder durch 3 oder 9 geteilt wird. Also ist 7.309 weder durch 3 noch durch 9 teilbar.

• Alle geraden Potenzen der Zahl 10, wie 10² = 100, 10⁴ = 10.000, 10⁶ = 1.000.000, und so weiter, haben, wenn sie durch 11 geteilt werden, einen Rest gleich 1.
• Alle ungeraden Potenzen von 10, wie 10¹ = 10, 10³ = 1.000, 10⁵ = 100.000, 10⁷ = 10.000.000, usw., haben, wenn sie durch 11 geteilt werden, einen Rest gleich 10. In diesem Fall hat die alternierende Summe der Ziffern (Die alternierende Quersumme) der Zahl den gleichen Rest wie die Zahl selbst, wenn sie durch 11 geteilt wird.
• Wie wird die alternierende Summe der Ziffern der zu berechnenden Zahl berechnet - es wird im folgenden Beispiel gezeigt.

• Zum Beispiel für die Zahl: 85.976: 6 + 9 + 8 = 23, 7 + 5 = 12, die alternierende Summe der Ziffern ist: 23 - 12 = 11. Also ist 85.976 durch 11 teilbar.

• 4. Schnelle Möglichkeiten, um festzustellen, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist oder nicht:

• 2, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 0, 2, 4, 6 oder 8 ist, dann ist die Zahl durch 2 teilbar. Zum Beispiel die Zahl 20: 0 ist durch 2 teilbar, also muss 20 durch 2 teilbar sein (20 = 2 × 10).
• 3, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist. Zum Beispiel die Zahl 126: Die Quersumme ist 1 + 2 + 6 = 9, was durch 3 teilbar ist. Dann muss die Zahl 126 auch durch 3 teilbar sein (126 = 3 × 42).
• 4, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl eine durch 4 teilbare Zahl bilden. Zum Beispiel ist die Zahl 124: 24 durch 4 teilbar (24 = 4 × 6), also ist 124 auch durch 4 teilbar (124 = 4 × 31).
• 5, wenn die letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (die letzte Ziffer ist 0 oder 5). Zum Beispiel die Zahl 100: Die letzte Ziffer, 0, ist durch 5 teilbar, dann muss die Zahl 100 durch 5 teilbar sein (100 = 5 × 20).
• 6, wenn die Zahl sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist. Zum Beispiel ist die Zahl 24 durch 2 teilbar (24 = 2 × 12) und auch durch 3 teilbar (24 = 3 × 8), dann muss sie durch 6 teilbar sein. 24 = 6 × 4.
• 7, wenn die Einerziffer, verdoppelt, subtrahiert von der Zahl, die aus den restlichen Ziffern besteht, eine Zahl ergibt, die durch 7 teilbar ist. Der Vorgang kann wiederholt werden, bis eine kleinere Zahl erhalten wird. Ist zum Beispiel die Zahl 294 durch 7 teilbar? Wir wenden den Algorithmus an: 29 - (2 × 4) = 29 - 8 = 21. 21 ist durch 7 teilbar. 21 = 7 × 3. Aber wir hätten den Algorithmus noch einmal anwenden können, diesmal auf die Zahl 21: 2 - (2 × 1) = 2 - 2 = 0. Null ist durch 7 teilbar, also muss 21 durch 7 teilbar sein. Wenn 21 durch 7 teilbar ist, muss 294 durch 7 teilbar sein.
• 8, wenn die letzten drei Ziffern der Zahl eine durch 8 teilbare Zahl bilden. Beispielsweise ist die Zahl 2.120: 120 durch 8 teilbar, da 120 = 8 × 15. Dann muss 2.120 auch durch 8 teilbar sein. Beweis: Wenn wir die Zahlen dividieren, ist 2.120 = 8 × 265.
• 9, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist. Zum Beispiel hat die Zahl 270 die Quersumme 2 + 7 + 0 = 9, die durch 9 teilbar ist. Dann muss 270 auch durch 9 teilbar sein. 270 = 9 × 30.
• 10, wenn die letzte Ziffer der Zahl 0 ist. Beispiel: 140 ist durch 10 teilbar, da 140 = 10 × 14.
• 11, wenn die alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Zum Beispiel hat die Zahl 2.915 die alternierende Summe der Ziffern gleich: (5 + 9) - (1 + 2) = 14 - 3 = 11, was durch 11 teilbar ist. Dann muss die Zahl 2.915 auch durch 11 teilbar sein: 2.915 = 11 × 265.
• 25, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl eine durch 25 teilbare Zahl bilden. Zum Beispiel ist die Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern der Zahl 275 besteht, 75, die durch 25 teilbar ist, da 75 = 25 × 3. Dann muss 275 auch durch 25 teilbar sein: 275 = 25 × 11.

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