Wie kürzt man den Bruch 16.395.217.351/40.988.043.389 auf die Grunddarstellung, seine einfachste äquivalente Form, mit dem kleinstmöglichen Zähler und Nenner?

Kürzen Sie den Bruch 16.395.217.351/40.988.043.389 auf seine Grunddarstellung

Um einen Bruch vollständig auf seine Grunddarstellung zu kürzen, teilen Sie den Zähler und den Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT

Um den größten gemeinsamen Teiler ggT zu berechnen, führen wir die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen durch.


Die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen:

Die Primfaktorzerlegung einer Zahl N = ist die Operation der Teilung der Zahl N in kleinere Zahlen - diese kleineren Zahlen sind Primzahlen. Die Zahl N ergibt sich aus der Multiplikation dieser Primzahlen.


16.395.217.351 = 23 × 712.835.537
16.395.217.351 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl.

40.988.043.389 = 23 × 14.437 × 123.439
40.988.043.389 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl.


* Die natürlichen Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind, heißen Primzahlen. Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.

* Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl, die mindestens einen anderen Teiler als 1 und sich selbst hat.



Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler, ggT:

Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primfaktoren mit ihren kleineren Exponenten.

ggT (16.395.217.351; 40.988.043.389) = 23



Teilen Sie den Zähler und den Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.

16.395.217.351/40.988.043.389 =


(23 × 712.835.537)/(23 × 14.437 × 123.439) =


((23 × 712.835.537) : 23) / ((23 × 14.437 × 123.439) : 23) =


712.835.537/(14.437 × 123.439) =


712.835.537/1.782.088.843


Der Bruch ist nun vollständig auf seine Grunddarstellung gekürzt.

Ein vollständig auf seine Grunddarstellung verkürzter Bruch ist ein Bruch mit möglichst kleinem Zähler und Nenner.


Ein vollständig gekürzter Bruch hat teilerfremde Zähler und Nenner.

712.835.537/1.782.088.843 ist echter Bruch.

Echter Bruch: der Zähler ist kleiner als der Nenner.

Schreiben Sie das Ergebnis um.

Als Dezimalzahl:

Teile den Zähler des Bruchs durch seinen Nenner.

712.835.537/1.782.088.843 =


712.835.537 : 1.782.088.843 ≈


0,399999999888


0,4


Als Prozentsatz:

Multipliziere den Wert des Bruchs mit dem Bruch 100/100


100/100 = 100 : 100 = 100% = 1

Multiplizieren Sie eine Zahl mit dem Bruch 100/100,
... und ihr Wert ändert sich nicht.


0,399999999888 =


0,399999999888 × 100/100 =


39,999999988777/100 =


39,999999988777% ≈


40%


Die endgültige Antwort:
:: Auf drei Arten geschrieben ::

Als echter Bruch:
16.395.217.351/40.988.043.389 = 712.835.537/1.782.088.843

Als Dezimalzahl:
16.395.217.351/40.988.043.3890,3999999998880,4

Als Prozentsatz:
16.395.217.351/40.988.043.38940%

Kürzen von Brüchen auf ihre Grunddarstellung

Schritte, um einen Bruch zu kürzen, um ihn auf seine Grunddarstellung zu bringen, den kleinstmöglichen Zähler und Nenner:

  • 1) Führen Sie die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner des Bruchs durch.
  • 2) Berechne den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs.
  • 3) Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.
  • Der so erhaltene Bruch wird verkürzter Bruch oder vollständig auf seine Grunddarstellung gekürzter Bruch genannt.
  • Ein vollständig gekürzter Bruch darf nicht mehr gekürzt werden, er ist bereits in seiner einfachsten Form mit kleinstmöglichem Zähler und Nenner.

Beispiel: Kürzen Sie den Bruch 315/1.155 vollständig auf seine Grunddarstellung.

  • 1) Führen Sie die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner des Bruchs durch.

  • Der Zähler der Brüche ist 315, und seine Primfaktorisierung ist:
    315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 32 × 5 × 7
  • Der Nenner des Bruchs ist 1.155 und seine Primfaktorzerlegung ist:
    1.155 = 3 × 5 × 7 × 11.
  • 2) Berechne den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner des Bruchs.

  • Der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen, des Zählers und des Nenners, (315 und 1.155), wird berechnet, indem alle ihre gemeinsamen Primfaktoren mit den niedrigsten Potenzen multipliziert werden:
  • ggT (315; 1.155) = (32 × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105
  • 3) Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler, ggT.

  • Der Zähler und der Nenner des Bruchs werden durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert:
  • 315/1.155 =
    (32 × 5 × 7)/(3 × 5 × 7 × 11) =
    ((32 × 5 × 7) : (3 × 5 × 7)) / ((3 × 5 × 7 × 11) : (3 × 5 × 7)) =
    3/11
  • Der so erhaltene Bruch wird als vollständig auf seine Grunddarstellung verkürzter Bruch bezeichnet - einer mit dem kleinstmöglichen Zähler und Nenner.

Warum Brüche kürzen?

  • Bei Operationen mit Brüchen müssen wir diese oft auf den gleichen Nenner bringen, zum Beispiel beim Addieren, Subtrahieren oder Vergleichen.
  • Manchmal sind sowohl die Zähler als auch die Nenner dieser Brüche große Zahlen, und Berechnungen mit solchen Zahlen können schwierig sein.
  • Durch das Kürzen eines Bruchs werden sowohl der Zähler als auch der Nenner auf kleinere Werte reduziert - viel einfacher zu handhaben und so der Gesamtaufwand zu reduzieren.

Lesen Sie den gesamten Artikel ⇒ Brüche vollständig auf ihre Grunddarstellung kürzen: Schritte und Beispiele