kgV (60.504; 150) = ? Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV, mit zwei Methoden: 1) Die Primfaktorzerlegung der Zahlen und 2) Der Euklidische Algorithmus
kgV (60.504; 150) = ?
Methode 1. Primfaktorzerlegung:
Die Primfaktorzerlegung einer Zahl N = Teilung der Zahl N in kleinere Zahlen - das sind Primzahlen. Die Zahl N ergibt sich aus der Multiplikation dieser Primzahlen.
60.504 = 23 × 3 × 2.521
60.504 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl.
150 = 2 × 3 × 52
150 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl.
* Die natürlichen Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind, heißen Primzahlen. Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
* Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl, die mindestens einen anderen Teiler als 1 und sich selbst hat.
Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV:
Multiplizieren Sie alle Primfaktoren der beiden Zahlen. Bei gemeinsamen Primfaktoren werden nur die mit den größten Exponenten genommen (die größten Potenzen).
Das kleinste gemeinsame Vielfache:
kgV (60.504; 150) = 23 × 3 × 52 × 2.521 = 1.512.600
Methode 2. Euklidischer Algorithmus:
1. Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler:
Dieser Algorithmus beinhaltet den Prozess der Division von Zahlen und der Berechnung der Reste.
'a' und 'b' sind die beiden natürlichen Zahlen, 'a' >= 'b'.
Teilen Sie 'a' durch 'b' und erhalten Sie den Rest der Operation, 'r'.
Wenn 'r' = 0 ist, STOP. 'b' = der ggT von 'a' und 'b'.
Sonst: Ersetzen Sie ('a' durch 'b') und ('b' durch 'r'). Kehren Sie zum obigen Schritt der Teilung zurück.
1. Operation: die größte Zahl durch die kleinste Zahl:
60.504 : 150 = 403 + 54
2. Operation: Teilen Sie die kleinere Zahl durch den Rest aus der obigen Operation:
150 : 54 = 2 + 42
3. Operation: Teilen Sie den Rest der 1. Operation durch den Rest der 2. Operation:
54 : 42 = 1 + 12
4. Operation: Teilen Sie den Rest der 2. Operation durch den Rest der 3. Operation:
42 : 12 = 3 + 6
5. Operation: Teilen Sie den Rest der 3. Operation durch den Rest der 4. Operation:
12 : 6 = 2 + 0
Bei diesem Schritt ist der Rest Null, also müssen wir aufhören:
6 ist die Zahl, nach der wir gesucht haben - das ist der letzte Rest, der von Null verschieden ist.
Dies ist der größte gemeinsame Teiler.
Der größte gemeinsame Teiler:
ggT (60.504; 150) = 6
2. Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache:
Das kleinste gemeinsame Vielfache, Formel:
kgV (a; b) = (a × b) / ggT (a; b)
kgV (60.504; 150) =
(60.504 × 150) / ggT (60.504; 150) =
9.075.600 / 6 =
1.512.600
Das kleinste gemeinsame Vielfache:
kgV (60.504; 150) = 1.512.600 = 23 × 3 × 52 × 2.521
Die beiden Zahlen haben gemeinsame Primfaktoren
Warum brauchen wir das kleinste gemeinsame Vielfache?
Um Brüche zu addieren, zu subtrahieren oder zu vergleichen, müssen Sie zuerst äquivalente Brüche berechnen, die denselben Nenner haben. Dieser gemeinsame Nenner ist nichts anderes als das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der Brüche.
Per Definition ist das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen die kleinste natürliche Zahl, die: (1) größer als 0 und (2) ein Vielfaches beider Zahlen ist.
Andere ähnliche Operationen mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen:
Das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV: die letzten 5 Operationen
| das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV (60.504 und 150) = ? | 05. jun, 02:31 MEZ (UTC +1) |
| das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV (10 und 550) = ? | 05. jun, 02:31 MEZ (UTC +1) |
| das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV (720 und 313) = ? | 05. jun, 02:31 MEZ (UTC +1) |
| das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV (15 und 1) = ? | 05. jun, 02:30 MEZ (UTC +1) |
| das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV (70 und 150) = ? | 05. jun, 02:30 MEZ (UTC +1) |
| Das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV: alle Berechnungen |
Rechner: Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache, kgV
Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen, kgV:
Methode 1: Die Primfaktorisierung von Zahlen - dann multiplizieren Sie alle diese Primfaktoren mit den größten Exponenten.
Methode 2: Euklidischer Algorithmus:
kgV (a; b) = (a × b) / ggT (a; b)
Methode 3: Die Teilbarkeit der Zahlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
- Die Zahl 60 ist ein gemeinsames Vielfaches der Zahlen 6 und 15, weil 60 ein Vielfaches von 6 (60 = 6 × 10) und auch ein Vielfaches von 15 (60 = 15 × 4) ist.
- Es gibt unendlich viele gemeinsame Vielfache von 6 und 15.
- Wenn die Zahl „v“ ein Vielfaches der Zahlen „a“ und „b“ ist, dann sind alle Vielfachen von „v“ auch Vielfache von „a“ und „b“.
- Die gemeinsamen Vielfachen von 6 und 15 sind die Zahlen 30, 60, 90, 120 und so weiter.
- Davon ist 30 das kleinste, 30 das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 15 (kgV).
- Anmerkung: Die Primfaktorzerlegung einer Zahl: Finden der Primzahlen, die miteinander multipliziert werden, um diese Zahl zu ergeben.
- Wenn e = kgV (a, b), dann muss „e“ alle Primfaktoren enthalten, die an der Primfaktorzerlegung von „a“ und „b“ mit der höchsten Potenz beteiligt sind.
- Beispiel:
- 40 = 23 × 5
- 36 = 22 × 32
- 126 = 2 × 32 × 7
- kgV (40, 36, 126) = 23 × 32 × 5 × 7 = 2.520
- Hinweis: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Wir sagen: 2 hoch 3. In diesem Beispiel ist 3 der Exponent und 2 die Basis. Der Exponent zeigt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. 23 ist die Potenz und 8 ist der Wert der Potenz.
- Ein weiteres Beispiel für die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, kgV:
- 938 = 2 × 7 × 67
- 982 = 2 × 491
- 743 = ist eine Primzahl und kann nicht in andere Primfaktoren zerlegt werden
- kgV (938, 982, 743) = 2 × 7 × 67 × 491 × 743 = 342.194.594
- Wenn zwei oder mehr Zahlen keine gemeinsamen Teiler haben (sie sind teilerfremd), dann wird ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnet, indem die Zahlen einfach multipliziert werden.
- Beispiel:
- 6 = 2 × 3
- 35 = 5 × 7
- kgV (6, 35) = 2 × 3 × 5 × 7 = 6 × 35 = 210
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