Zahlen teilerfremd, relativ prim: 12 und 50?

12 und 50 sind nicht teilerfremd wenn es Primfaktoren gibt, die beide Zahlen teilen, das heißt, wenn 1 deren größter gemeinsamer Teiler, ggT, nicht ist.

Teilerfremdheit (297; 50)? ... (12; 4.154)?

Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler.
Zwei Methoden werden unten verwendet.

Methode 1. Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren:

Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren - findet die Primzahlen, die sich zu dieser Zahl multiplizieren.


12 = 22 × 3;
12 ist keine Primzahl, ist Zusammengesetzte Zahl;


50 = 2 × 52;
50 ist keine Primzahl, ist Zusammengesetzte Zahl;


* Die Zahlen die sich nur durch sich und durch 1 teilen, heißen Primzahlen. Eine Primzahl hat nur zwei Teiler: 1 und sich selbst.
* Eine zusammengesetzte Zahl ist eine Ganzzahl, die mindestens einen anderen Teiler als 1 und sich selbst hat.


Berechne größte gemeinsame Teiler:

Multiplizieren Sie alle gemeinsamen Primzahlen mit ihren niedrigsten Potenzen.


ggT (12; 50) = 2;



Teilerfremde Zahlen (relativ prim) (12; 50)? Nein.
Die Zahlen haben gemeinsame Primfaktoren.
ggT (12; 50) = 2.

>> Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren


Methode 2. Euclid Algorithmus:

Dieser Algorithmus beinhaltet den Vorgang des Teilens und Berechnen Reste.


'a' und 'b' sind die zwei positive ganze Zahlen, 'a' >= 'b'.


Teilen Sie 'a' durch 'b' und erhalten Sie den Rest, 'r'.


Wenn 'r' = 0 ist, STOP. 'b' = der ggT von 'a' und 'b'.


Sonst: Ersetzen Sie ('a' durch 'b') und ('b' durch 'r'). Kehren Sie zum obigen Schritt der Teilung zurück.



Die Operation 1. Teilen die größte Zahl durch die kleinste Zahl:
50 : 12 = 4 + 2;
Die Operation 2. Teilen die kleinste Zahl durch den Rest der Operation von oben:
12 : 2 = 6 + 0;
In diesem Moment gibt es keinen Rest mehr, wir hören auf:
2 ist die gesuchte Zahl, der letzte Rest unterschiedlich von Null.
Dies ist der größte gemeinsame Teiler.


ggT (12; 50) = 2;

Warum ist die Antwort ein Teiler der anfänglichen Werte 'a' und 'b'?

Hinweis: 'a' : 'b' = 'q' + 'r' entspricht der Gleichung: 'a' = 'q' × 'b' + 'r', wobei 'q' der Quotient der Operation ist.


Wenn der Endwert von 'r' = 0 ist, dann ist der Endwert von 'b' ein Teiler des Endwerts von 'a', da 'a' = 'q' × 'b' + 0.


Gehen Sie jeden der vorherigen Schritte rückwärts durch und analysieren Sie jede Gleichung, 'a' = 'q' × 'b' + 'r', und beachte, dass bei jedem Schritt der Endwert von 'b' ein Teiler jedes Wertes von 'r' und jedes Wertes von 'b' ist und daher ein Teiler jedes Wertes von 'a' ist. Der letzte Wert von 'b', der der letzte Rest ist, der sich von Null unterscheidet, ist also ein Teiler der Anfangswerte von 'a' und 'b'.


Warum ist die Antwort gleich der ggT?

Schauen Sie sich alle Gleichungen an: 'a' = 'q' × 'b' + 'r'. Wie wir oben gesehen haben, ist der Endwert von 'b' ein Teiler aller Werte von 'a', 'b' und 'r'.


Daher muss der Endwert von 'b' auch ein Teiler des letzten Werts von 'r' sein, der von Null verschieden ist. Und der Endwert von 'b' könnte nicht größer sein als der letzte Wert von 'r'. Da der Endwert von 'b' gleich dem letzten Wert von 'r' ist, der sich von Null unterscheidet, ist der Endwert von 'b' der größte Teiler der Anfangswerte von ('a' und 'b'). Und per Definition wird es der größte gemeinsame Teiler von Zahlen genannt.


Teilerfremde Zahlen (relativ prim) (12; 50)? Nein.
ggT (12; 50) = 2.

>> Euclid Algorithmus

Endgültige Antwort:

12 und 50 sind nicht teilerfremd wenn es Primfaktoren gibt, die beide Zahlen teilen, das heißt, wenn 1 deren größter gemeinsamer Teiler, ggT, nicht ist.
Teilerfremde Zahlen (relativ prim) (12; 50)? Nein.
ggT (12; 50) = 2.

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Teilerfremdheit

Zwei natürliche Zahlen "a" und "b" sind teilerfremd (relativ prim) wenn es keine natürliche Zahl außer der Eins gibt, die beide Zahlen teilt. Wenn zwei natürliche Zahlen keinen gemeinsamen Primfaktor haben, sind sie teilerfremd. Jede natürliche Zahl teilerfremd zu 1 ist, auch die Zahl 1 selbst. Zum Nachweis der Teilerfremdheit berechnet man gewöhnlich den größten gemeinsamen Teiler: Zwei Zahlen sind genau dann teilerfremd, wenn 1 deren größter gemeinsamer Teiler ist.

Die Zahlen 16 und 17 sind teilerfremd, denn ihre Primfaktorzerlegungen 16 = 24 und 17 = 17 enthalten keine gemeinsamen Primfaktoren. Die Zahlen 16 und 24 sind nicht teilerfremd, denn in ihren Primfaktorzerlegungen 16 = 24 und 24 = 23 * 3 kommt jeweils die 8 vor, die zugleich ggT(16, 24) ist. Euclid Algorithmus


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